Theorie der relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörper, insbesondere bei endlichem Konstantenkörper. (Q2616741)

Betrachtet werden die separablen zyklischen Erweiterungen \(Z\) vom Grade \(n\) über einem algebraischen Funktionenkörper \(K\) in einer Unbestimmten mit dem endlichen Konstantenkörper \(k\) der Charakteristik \(p\). Über \(n\) und \(k\) werden folgende einschränkenden Voraussetzungen gemacht, die gelegentlich mehr oder weniger weitgehend aufgehoben werden: Es sei entweder \(n \not \equiv 0\) mod \(p\) oder \(n = p\); \(k\) sei auch in \(Z\) algebraisch abgeschlossen; und schließlich möge \(k\) im ersten Fall die \(n\)-ten Einheitswurzeln enthalten. Beide Fälle werden ihrer formalen Analogie wegen gleichzeitig nebeneinander behandelt. Die arithmetische Theorie von \(Z = K(y)\) knüpft sich an die \textit{Kummer}sche Erzeugungsweise \(y^n = B\) für \(n \not \equiv 0\) mod \(p\) bzw. an die \textit{Artin-Schreier}sche durch \(y^p - y = B\) für \(n = p\) mit \(B\) aus \(K\). Ist \(\mathfrak p\) in \(Z\) unverzweigter Primdivisor von \(K\), so läßt sich entsprechend der Tatsache, daß\ die Konjugierten zu \(y\) sich multiplikativ um die \(n\)-ten Einheitswurzeln bzw. additiv um die ``\(p\)-ten Nullteile'' unterscheiden, wie in der algebraischen Zahlentheorie nach der \textit{Hilbert}schen Theorie für beide Fälle ein ``\(n\)-tes Potenzrestsymbol'' \(\left ( \frac {B}{\mathfrak p}\right )\) mod \(\mathfrak p\) definieren, das die üblichen Eigenschaften hat. - Nimmt man in \(\mathfrak f\) alle in \(Z\) verzweigten Primdivisoren \(\mathfrak p\) von \(K\) mit einem aus der erzeugenden Gleichung sich ergebenden Exponenten auf, und hat \(f_{\nu }\) die entsprechende Bedeutung für den durch \(y^n = B^{\nu }\) bzw. \(y^p - y = \nu B\) erzeugten Teilkörper \(Z_{\nu }\), so läßt sich die Diskriminante \(\mathfrak d\) von \(Z/K\) schreiben als \(\prod \limits ^{n-1}_{\nu = 0} \mathfrak f _{\nu }\). Ist \(g_0\) das Geschlecht von \(K\) und \(f_{\nu }\) der Grad von \(\mathfrak f _{\nu }\), so ist das doppelte Geschlecht \(2\bar g\) von \(Z\) gleich \(2g_0 + \sum \limits ^{n-1}_{\nu = 1} (2g_0 - 2 + f_{\nu })\). Als das doppelte Relativgeschlecht \(2g\) von \(Z/K\) wird definiert \(2g = d - 2(n-1) = \sum \limits ^{n-1}_{\nu =1} f_{\nu }\), wobei \(d\) der Grad von \(\mathfrak d\) ist. Setzt man \(\left ( \frac {B}{\mathfrak a}\right ) = \prod \limits _{\mathfrak p} \left ( \frac {B}{\mathfrak p}\right ) ^{\mu }\), wenn \(\mathfrak a = \prod \limits _{\mathfrak p} \mathfrak p ^{\mu }\) ein zu \(\mathfrak f\) primer Divisor von \(K\) ist, so gilt für dieses zusammengesetzte \(n\)-te Potenzrestsymbol das Reziprozitätsgesetz in der Form: \(\left ( \frac {B}{\mathfrak a}\right ) = 1\), wenn \(\mathfrak a \sim N(\mathfrak A )\) mod \(\mathfrak f\) (\(\mathfrak A\) zu \(\mathfrak f\) primer Divisor von \(Z\)). Der Beweis erfolgt wie in der gewöhnlichen Zahlentheorie mit Hilfe der Theorie der lokalen Divisionsalgebren. Benutzt wird dabei der Satz von \textit{Tsen} (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 160). Gleichzeitig ergibt sich für separable zyklische Erweiterungen \(Z\) beliebigen Grades \(n\) über \(K\) der Umkehrsatz der Klassenkörpertheorie nebst Isomorphiesatz, Zerlegungssatz, \textit{Artin}schem Reziprozitätsgesetz in der üblichen Form (als Führer erweist sich \(\mathfrak f\)), der sich dann auch ohne weiteres auf beliebige separable abelsche Erweiterungen von \(K\) überträgt. - Ist speziell \(K\) vom Geschlecht Null, so läßt sich das Reziprozitätsgesetz für \(\left ( \frac {B}{\mathfrak a}\right )\) auch elementar beweisen, und zwar verläuft der Beweis im Fall \(n \not \equiv 0\) mod \(p\) nach \textit{Dedekind}schem Muster, während im Fall \(n = p\) logarithmische Differentialquotienten - analog zu den \textit{Kummer}schen - auftreten. Zu \(Z/K\) werden die Charaktere definiert durch \(\chi ^{\nu }(\mathfrak a ) = \left ) \frac {B^{\nu }}{\mathfrak a}\right )\) (\(\nu \) mod \(n\)), wobei \(\left ) \frac {B^{\nu }}{\mathfrak a}\right ) = 0\) zu setzen ist, wenn \(\mathfrak a\) nicht prim zu \(\mathfrak f _{\nu }\) ist. Die zugehörigen \(L\)-Reihen \[ L(s, \chi ^{\nu }) = \prod _{\mathfrak p} \frac {1}{1 - \frac {\chi ^{\nu }(\mathfrak p )}{\mathfrak N (\mathfrak p )^s}} = \sum _{\mathfrak a} \frac {\chi ^{\nu }(\mathfrak a )}{\mathfrak N (\mathfrak a )^s} \] (\(\mathfrak p\) durchläuft die Primdivisoren, \(\mathfrak a\) die ganzen Divisoren von \(K\)) erweisen sich als Polynome in \(\frac {1}{q^s}\) (\(q\) die Anzahl der Elemente von \(k\)) vom Grade \(2g_0 - 2 + f_{\nu }\) für \(\nu = 1,\dots, n-1\). Zu den Koeffizienten dieser Polynome gehören die Summen \[ \sigma (\chi ^{\nu }) = \sum _{\mathfrak p\text{ vom Grad 1}} \chi ^{\nu }(\mathfrak p ) = \sum _{\mathfrak p\text{ vom Grad 1}} \left ( \frac {B^{\nu }}{\mathfrak p}\right ), \] die für den Fall \(g_0 = 0\) als Charakter- bzw. Exponentialsummen bekannt sind. Die Abschätzung dieser Summen sowie der Abweichung \(N_{01} - (q+1)\) ist gleichbedeutend mit der von \(\overline {N_1} - (q+1)\) (\(N_{01}, \overline {N_1}\) die Anzahlen der Primdivisoren ersten Grades von \(K, Z\)) und wird bestmöglich erledigt sein, wenn die \textit{Riemann}sche Vermutung für die \(\zeta \)-Funktion von \(Z\) bewiesen ist. (III 8.)