Über das Verhalten der Integrale 1. Gattung bei Automorphismen des Funktionenkörpers. (Q2616742)

Es handelt sich um die Bestimmung der sogenannten Integralgruppe bei algebraischen Gebilden im allgemeinen Fall, d. h. um folgendes Problem: Sei \(k\) ein algebraischer Funktionenkörper, \(K\) eine endliche galoissche Erweiterung von \(k\) mit der Galoisgruppe \(\mathfrak G\). Man erhält eine Darstellung \(\mathfrak D\) von \(\mathfrak G\), indem man auf die Differentiale erster Gattung oder allgemeiner auf die Differentialformen \(f\)-ten Grades in \(K\) die Substitutionen von \(\mathfrak G\) anwendet. Gesucht ist die Zerlegung von \(\mathfrak D\) in irreduzible Bestandteile. Die Verf. geben eine allgemeine Formel für die Multiplizität, mit der eine vorgegebene irreduzible Darstellung in \(\mathfrak D\) enthalten ist. Es zeigt sich, daß\ diese Zahl nur von der topologischen Beschaffenheit der \textit{Riemann}schen Fläche von \(K\) bezüglich \(k\) abhängt. Der Beweis wird am Spezialfall der relativen Unverzweigtheit von \(K\) bezüglich \(k\) und der Differentiale erster Gattung durchgeführt. Er beruht auf einem wohlbekannten Prinzip aus der Klassenkörpertheorie und ist außerordentlich einfach. Zunächst wird im Falle, daß\ \(\mathfrak G\) zyklisch ist, durch ganz einfache Überlegungen, die schließlich auf eine direkte Anwendung des \textit{Riemann-Roch}schen Satzes führen, gezeigt, daß\ \(\mathfrak D\) die identische Darstellung \(p\)-mal, die anderen möglichen irreduziblen Darstellungen je \((p-1)\)-mal enthält. Auf diesen Satz wird der Beweis der allgemeineren Aussage mit beliebigem \(\mathfrak G\) durch Einschiebung eines zyklischen Zwischenkörpers zurückführt; der Beweis gelingt durch Benutzung von Charakterenrelationen.