Zerlegung reeller algebraischer Funktionen in Quadrate. Schiefkörper über reellem Funktionenkörper. (Q2616743)

\(f(x, y)\) sei eine Funktion mit reellen Koeffizienten; durch \(f(x, y) = 0\) sei der reelle algebraische Funktionenkörper \(k\) definiert; \(k(\sqrt {-1})\) bestimmt eine \textit{Riemann}sche Fläche, deren Geschlecht \(p\) sei. Die Menge der reellen Punkte \((x, y) = (\bar x, \bar y)\) bildet ein System geschlossener fremder Kurven auf ihr; ihre Anzahl sei \(r\) (\(r \leq p+1\)). Auf jeder dieser Kurven hat jedes Element von \(k\) reelle oder unendliche Werte. Das Element \(\alpha \) von \(k\) heißt definit, wenn seine Werte auf keiner der Kurven das Vorzeichen wechseln, positiv definit, wenn seine Werte auf keiner der Kurven negativ werden. Ist \(r=0\), so ist \(-1\) positiv definit und jedes Element von \(k\) Summe von zwei Quadraten. Mit Hilfe abelscher Integrale beweist Verf.: I. Ist \(\alpha \in k\) positiv definit, so ist \(\alpha \) Summe von zwei Quadraten. II.Es gibt definite Elemente von \(k\), deren Werte auf den Kurven beliebig vorgeschriebene Vorzeichen haben. III. Es gibt Elemente von \(k\), deren Werte an beliebig vorgeschriebenen Stellen der Kurven das Vorzeichen wechseln, falls die Anzahl dieser Stellen auf jeder Kurve gerade ist. Ins Algebraische übersetzt heißt das: I'. Zerfällt ein Schiefkörper \(S\) endlichen Ranges über \(k\) als Zentrum in jedem \(\mathfrak p\)-adischen Oberkörper \(k_{\mathfrak p}\), so zerfällt \(S\) schlechthin. II'. Es gibt genau \(2^r\) unverzweigte Schiefkörper endlichen Ranges über \(k\) als Zentrum. III'. Es gibt genau \(2^r\) Schiefkörper endlichen Ranges über \(k\) als Zentrum, die an beliebig vorgeschriebenen Stellen der Kurven verzweigt sind, falls die Anzahl dieser Stellen auf jeder Kurve gerade ist; so erhält man alle möglichen Typen von Schiefkörpern endlichen Ranges über \(k\) als Zentrum. Die Beweise der algebraischen Fassung sind nur skizziert, sie verlaufen wie Beweise der entsprechenden Sätze von \textit{H. Hasse} (Math. Ann. 104 (1931), 495; 107 (1933), 731-760; F. d. M. 57, \(59_{\text{II}}\)). Zum Schluß\ beweist Verf.: Ist in einem beliebigen Körper mit von zwei verschiedener Charakteristik jedes Element Summe zweier Quadrate, so auch in jedem quadratischen Oberkörper. (IV 6 C.)