Zerfallende verschränkte Produkte und ihre Maximalordnungen. (Exposés mathématiques IV.) (Q2616750)

Nach vorbereitenden algebraischen Bemerkungen über zerfallende verschränkte Produkte und ihre (auch nicht-galoisschen) maximalen kommutativen Teilkörper werden für algebraische Zahlkörper als Grundkörper alle Maximalordnungen und ihre Ideale mit Hilfe der Moduln und Komplementärmoduln eines solchen Teilkörpers \(k\) angegeben. Sodann werden die Maximalordnungen in Gebiete eingeteilt, wobei in ein Gebiet alle die Maximalordnungen kommen, die denselben Durchschnitt mit \(k\) besitzen. Dadurch werden die Gebiete allen Ordnungen aus \(k\) eineindeutig zugeordnet, speziell der Hauptordnung \(\mathfrak o\) das Hauptgebiet. Die Maximalordnungen eines Gebietes gehen ineinander über durch Transformation mit Idealen, die aus Moduln der betreffenden Ordnung gebildet sind; speziell beim Hauptgebiet treten die Ideale auf, die man durch Erweiterung der Ideale aus \(k\) erhält. Ein Linksideal einer Maximalordnung des Hauptgebietes ist dann und nur dann Erweiterung eines Ideals aus \(k\), wenn auch seine Rechtsordnung \(\mathfrak o\) enthält. Diese Sätze übertragen sich fast ganz auf den Fall beliebiger verschränkter Produkte, wenn man die Einteilung der Maximalordnungen in Gebiete in geeigneter Weise (Berücksichtigung der Verzweigungsstellen) verfeinert. Der Satz über Erweiterung der Ideale aus \(k\) gilt im allgemeinen nur für zur Differente der Algebra prime Ideale, speziell bei Primzahlgrad der Algebra aber ist diese Einschränkung unnötig. (Vgl. die beiden vorstehenden Referate.)