Contributions to the theory of finite fields. (Q2616782)

Im Primkörper \(P_p\) der Charakteristik \(p\) wird zu dem Polynom \[ f(x) = \sum ^n_0 a_{\nu }x^{\nu } \] das ``\(p\)-Polynom'' \[ F(x) = \sum ^n_0 a_{\nu }x^{p^{\nu }} \] gebildet. Zu zwei \(p\)-Polynomen wird das symbolische Pridukt \[ F(x) \times G(x) = F(G(x)) \] definiert, das assoziativ, distributiv und kommutativ ist und dem gewöhnlichen Produkt der zu \(F\) und \(G\) gehörenden Polynome \(f\) und \(g\) wie oben zugeordnet ist. Aus dieser Tatsache läßt sich eine Reihe von Zerlegungs- und Irreduzibilitätstatsachen für \(p\)-Polynome mit symbolischer Multiplikation ohne weiteres herleiten. Die Theorie liefert zuerst einen einfachen Beweis für den Satz von \textit{Hensel}, daß\ in jedem endlichen Körper eine Basis aus konjugierten Elementen vorhanden ist, zusammen mit einer Anzahlbestimmung der verschiedenen Basen dieser Eigenschaft (\textit{Eisenstein}, J. f. M. 39 (1850), 182; \textit{Schönemann}, J. f. M. 40 (1850), 185-187; \textit{Hesel}, J. f. M. 103 (1888), 230-237; F. d. M. 20, 73 (JFM 20.0073.*); \textit{Deuring}, Math. Ann. 107 (1932), 140-144; F. d. M. 58). Dann werden auf einheitlichem Wege irreduzible Polynome in expliziter Form aufgestellt, wobei die bekannten wiedergewonnen und neue erhalten werden. Schließlich liefert die Theorie einige arithmetische Anwendungen: die Bestimmung der Elemente von der Norm 1 (\textit{Speiser}, M. Z. 5 (1919), 1-6; \textit{E. Noether}, Math. Ann. 108 (1933), 411-419; F. d. M. 47, 92 (JFM 47.0092.*); F. d. M. \(59_{\text{II}}\)) und das Reziprozitätsgesetz in Polynomringen über endlichen Körpern (\textit{Dedekind}, Werke I (Braunschweig, 1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 24), 40-67; \textit{F. K. Schmidt}, Sitzungsberichte Erlangen, 58/59 (1928), 159-172; F. d. M. 54, 207 (JFM 54.0207.*); \textit{Carlitz}, Amer. J. 54 (1932), 39; F. d. M. 58; Bulletin A. M. S. 39 (1933), 155-160; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 166).