Leudesdorf's extension of Wolstenholme's Theorem. (Q2616811)

Es handelt sich um den \textit{Wolstenholme}schen Satz, daß\ für eine Primzahl \(p>3\) die Kongruenz \[ 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \cdots + \frac {1}{p-1} \equiv 0 \pmod {p^2} \] gilt, sowie um seine von \textit{Leudesdorf} gegebene Verallgemeinerung: Mit \(S_n = \sum \frac {1}{t},\) wobei über alle \(t\) unterhalb von \(n\) mit \((n, t) = 1\) zu summieren ist, gelten folgende Kongruenzen \[ S_n \equiv 0\bmod \begin{cases} n^2 & \text{für } n\not \equiv 0\pmod 2, n\not \equiv 0\pmod 3,\\ \frac{n^2}{3} & \text{für } n\not \equiv 0\pmod 2, n\equiv 0\pmod 3,\\ \frac {n^2}{2} & \text{für } n\equiv 0\pmod 2, n\not \equiv 0\pmod 3, n\not = 2^k, \\ \frac {n^2}{6} & \text{für } n\equiv 0\pmod 2, n\equiv 0\pmod 3,\\ \frac {n^2}{4} & \text{für } n = 2^k,\end{cases} \] wobei \(k>1\) eine beliebige ganze Zahl ist. Die Verff. beweisen diese Verallgemeinerung im Anschluß\ an den von \textit{Leudesdorf} loc. cit. angegebenen Beweis des \textit{Wolstenholme}schen Satzes unter Heranziehung eines \textit{Bauer}schen Satzes [Nouvelles Annales (4) 2 (1902), 256--264, F. d. M. 33, 206 (JFM 33.0206.02)], für den sie einen Beweis durch Totalinduktion angeben. In der Berichtigung weisen die Verff. auf eine Abänderung hin, die im Falle \(p=2\) an ihrem Theorem 2 anzubringen ist, und auf die sie von \textit{M. Bauer} aufmerksam gemacht wurden.