Über die Darstellungen einer Zahl als Summe von drei Biquadraten. (Q2616831)

\(F(x_1, x_2,\dots, x_m)\) sei eine (homogene) Form der Dimension \(n\) mit ganzen rationalen Koeffizienten. Für ganzes rationales \(k \not = 0\) bedeute ferner \(A(k)\) die Anzahl der Lösungen von \(F(x_1, x_2,\dots, x_m) = k\) in ganzen rationalen Zahlen \(x_1, x_2,\dots, x_m\). Verf. nennt \(F\) von ersterArt, wenn es zu jedem noch so großen \(t>0\) eine ganze rationale Zahl \(k \not = 0\) derart gibt, daß\ \(A(k)\geq t\). Anderfalls heißt \(F\) von zweiter Art. Eine Form in einer Veränderlichen ist offenbar von zweiter Art. Die quadratischen Formen mit \(m \geq 2\) Variablen sind, wie aus der Theorie der quadratischen Formen bekannt, von erster Art. Das gleiche gilt für kubische Formen mit \(m \geq 2\). (Des Verf. Beweis für kubische Binärformen erscheint demnächst, und hieraus folgt leicht der Beweis für \(m \geq 3\).) Eine Form zweiter Art in mehr als einer Veränderlichen müßte demnach von einer Dimension \(n \geq 4\) sein; ferner müßte für eine solche Form \(m \leq n\) sein. Verf. läßt die Frage offen, ob es solche Formen zweiter Art gibt; er zeigt nur, daß\ die Bedingungen \(n \geq 4, m \leq n\), jedenfalls nicht hinreichend dafür sind, daß\^^M\(F\) von zweiter Art ist, daß\ es sogar Formen mit \(n \geq 4\) und \(m < n\) gibt, welche von erster Art sind. Eine solche Form ist z. B. \[ F(x_1, x_2, x_3) = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4, \] so daß\ es also für jedes \(t\) natürliche Zahlen \(k\) gibt, die auf mehr als \(t\) Weisen als Summe von drei Biquadraten darstellbar sind. Ebenso ist \[ F(x_1, x_2, x_3, x_4) = x_1^6 + x_2^6 + 8x_3^6 + 8x_4^6\tag{1} \] von erster Art. Ähnliche Beispiele zeigt Verf. für die Fälle: \(m=5, n=8\); \(m=4, n=5\); \(m=5, n=7\). - Der Beweis dafür, daß\ diese Formen von erster Art sind, wird mit Hilfe elementarer Identitäten unter Benutzung des folgenden leicht einzusehenden Hilfssatzes geführt: \(F(x_1, x_2,\dots, x_m)\) ist von erster Art, wenn eine ganze rationale Zahl \(k \not = 0\) existiert, so daß\ \(F(x_1, x_2,\dots, x_m) = ky^n\) unendlich viele Lösungen in ganzen rationalen Zahlen, \(x_1, x_2,\dots, x_m, y\) mit \((x_1, x_2,\dots, x_m, y) = 1\) und \(y \not = 0\) besitzt. - Z. B. folgt aus der Identität \[ (u^2 - v^2)^4 + (2uv + v^2)^4 + (u^2 + 2uv)^4 = 2(u^2 + uv + v^2)^4 \] und diesem Hilfssatz, daß\ (1) von erster Art ist.