Una proposizione di Erone ridimostrata e completata. (Q2616843)

Das Dreieck \(ABC\) sei rechtwinklig in \(A\) und \(AD\) sei die ent\-spre\-chen\-de Höhe. Seien ferner \(E, F\) die zu \(A\) entgegengesetzten Ecken der über \(AB\) und \(AC\)konstruierten Quadrate. Nach \textit{Heron} gehen die Geraden \(AD, CE, BF\) durch denselben Punkt \(M\). Dieser Satz wird vom Verf. einfach bewiesen. Ferner bemerkt er, daß\ man den Punkt \(M\) durch eine der folgenden Beziehungen bestimmen kann: \[ \begin{aligned} \frac {AM}{MD} &= \frac {BC}{AD},\\ \frac {AM}{MD} &= \frac {AB}{AC} + \frac {AC}{AB},\\ \frac {\text{Dreieck }BME}{\text{Dreieck }CMF} &= \frac {AB^3}{AC^3}.\end{aligned} \] Man bezeichne jetzt mit \(x, y, z\) die Flächen der Dreiecke \(BME, CMF, BMC\). Dann gilt die Gleichung \[ x^2(y+z)^3 = y^2(x+z)^3. \] Daraus folgert Verf., daß\ die betrachtete Figur alle die \(\infty ^2\) ganzen positiven Lö\-sun\-gen dieser Gleichung liefert, welche durch die folgenden Formeln gegeben sind: \[ x = a^3(a+b),\quad y = b^2(a+b),\quad z = a^2b^2. \] (V 3.)