Zur Theorie der Geschlechtermoduln. (Q2616859)

Die Beziehungen zwischen Führern \(\mathfrak f\) und Geschlechtermoduln \(\mathfrak F\) abelscher Körper \(K/k\) und ihrer Unterkörper \(\Omega /k\) werden im Anschluß\ an die vorstehend besprochene \textit{Hasse}sche Normenresttheorie klargestellt. Hervorzuheben ist der Satz, daß \[ \mathfrak f (K/\Omega ) | \mathfrak m \cdot \mathfrak F (\Omega /k)\quad \text{und}\quad \mathfrak f (K/k)|\mathfrak m \cdot \mathfrak f (\Omega /k) \] sich gegenseitig bedingen, was für die Geschlechtertheorie liefert, daß\ im abelschen Körper \(\Omega /k\) der Strahl mod \(\mathfrak m \cdot \mathfrak F\) in \(\Omega \) seine Normen im Strahl mod \(\mathfrak m \cdot \mathfrak f\) in \(k\) hat. Spezialisierung von \(\Omega \) auf zyklische Körper ergibt, daß\ das zu einer Klasseneinteilung in \(\Omega \) gehörige Hauptgeschlecht bezüglich \(k\) aus den \((S-1)\)-ten Potenzklassen (\(S\) erzeugende Substitution von \(\Omega /k\)) besteht. Im Falle, daß\^^M\(\Omega /k\) Strahlklassenkörper ist, kommt der verallgemeinerte Hauptidealsatz heraus.