Über das Verhältnis der Analysis zur Zahlentheorie. (Q2616884)

``Zu den großen Problemen der Forschung und des Unterrichts, die der Mathematik gestellt sind, ist im Laufe der Zeiten noch eine besondere Aufgabe hinzugekommen: die, ihre gesicherten Leistungen so durchzufeilen und darzustellen, daß\ nicht nur eine kleine Gruppe von Spezialisten sie versteht, sondern der weite Kreis aller Mathematiker, die an Hochschulen oder Schulen lehren und denen ihr Beruf nicht die Zeit und Kraft läßt, sich in die Geheimsprache jeder einzelnen mathematischen Sonderdisziplin einzuarbeiten. Erst ganz allmählich setzt sich die Erkenntnis durch,daß\ auch diese Aufgabe ein Problem ist, das Nachdenken und Anstrengung erfordert und das auch für den Fortschritt der Mathematik selbst einen Sinn hat.'' Unter diesen Gesichtspunkten wird ausführlich \textit{Euler}s Satz, daß\ die Anzahl der additiven Zerlegungen einer Zahl in lauter verschiedene oder in lauter ungerade Summanden diesselbe ist, ausführlich dargelegt. Ferner wird referiert über die \textit{Hardy-Ramanujan}schen Resultate über das asymptotische Verhalten der Anzahl \(p(n)\) (hier \(s_n\) genannt) der Partitionen von \(n\). Es wird ein \textit{Tauber}schen Theorem zitiert, das bei dem ersten Schritt der Approximation benutzt wird, und es wird die Übereinstimmung der numerischen Ergebnisse \textit{Mac Mahon}s und der analytischen Theorie \textit{Hardy-Ramanujan}s vorgeführt. - Weitere Bemerkungen betreffen \textit{Jacobi}s analytischen Beweis für die Zerlegbarkeit aller ganzen Zahlen in vier Quadrate, ferner den Primzahlsatz \textit{Dirichlet}s Satz über die aritmetischen Progressionen, seine Klassenzahlformel. Einige grundsätzliche Bemerkungenüber das Verhältnis von Analysis zur Zahlentheorie beschließen die Abhandlung.