Proportionality conditions in Waring's problem. (Q2616891)

In einer vorangehenden Veröffentlichung [Philos. Trans. R. Soc. London A 232, 1--26 (1934); F. d. M. 59\(_{\text{II}}\) (JFM 60.0941.01)] hat Verf. schon gezeigt, daß\ jede hinreichend große Zahl \(n\) als Summe von \(s\) \(k\)-ten Potenzen dargestellt werden kann, die ``ungefähr'' proportional zu \(s\) beliebig vorgeschriebenen positiven Zahlen \(\lambda _1,\dots,\lambda _s\) sind. Während in jener Abhandlung für die ungefähre Proportionalität nur verlangt wurde, daß\ die Summanden in der Darstellung \[ n= m_1^k+\cdots +m_s^k \] die Bedingungen \[ \lambda _i n-m_i^k=o(n) \] erfüllen sollen, wird hier präziser mit gewissen \(\beta >0\) \[ \lambda _i n-m_i^k=O(n^{1-\beta }) \] verlangt. Es ist trivial, daß\ hier ein \(\beta >a = \frac 1k\) eine unmögliche Forderung wäre. Im Verlaufe der Rechnung stellt sich heraus, daß\ \(\beta <\alpha (k,s)\) gewählt werden muß, wobei \(\alpha (k,s)\) in abgebbarer, wenn auch komplizierter Weise von \(k\) und \(s\) abhängt; übrigens bleibt \(\alpha \) stets kleiner als \(a^2\). Die \textit{Winogradoff}sche Methode, die in einer gewissen Modifikation vom Verf. benutzt wird, ist darum hier so geeignet, weil sie nicht die ganze Potenzreihe \(\sum _{h=1}^\infty x^{h^k}\), sondern nur einen passenden Polynomabschnitt dieser Reihe benötigt. Als solcher Abschnitt kommt hier in Frage \[ f_i(x) = \sum _{N'_i\leqq h^k\leqq N_i} x^{h^k} \] mit \[ N_i=[\lambda _in+A_in^{1-\beta }],\quad N'_i=[\lambda _in-A'_in^{1-\beta }+1], \] wo die \(A_i\) und \(A'_i\) mit den \(\lambda _i\) als positive Zahlen vorgegeben sind und die \(\lambda _i\) übrigens noch \(\sum \lambda _i=1\) erfüllen. Es werden drei Sorten von \textit{Farey}bogen unterschieden, \(\mathfrak M_1, \mathfrak M_2, \mathfrak M_3,\) wobei \(\mathfrak M_1,\) etwa den ``major arcs'', \(\mathfrak M_3\), etwa den ``minor arcs'' der \textit{Hardy-Littlewood}schen Methode entsprechen. Letztere werden, wie üblich, mit Hilfe des \textit{Weyl}schen Approximationssatzes behandelt. Bei der Behandlung der \(\mathfrak M_1\) tritt die \textit{Winogradoff}sche Methode in Kraft. Jeder Bogen \(\mathfrak M_1\) wird zerlegt in eine Umgebung \(\mathfrak M'_1\) des \textit{Farey}punktes \(\varrho \) und den Rest \(\mathfrak M''_1\). Das Hauptglied wird von \(\mathfrak M'_1\) geliefert. Die Differenz \(\prod f_i-\prod \psi _{\varrho i}\) wird in \(\mathfrak M'_1\) direkt abgeschätzt, und zwar wieder mit Zuhilfenahme des \textit{Weyl}schen Satzes; \(\psi _{\varrho i}\) ist dabei definiert durch \[ \psi _{\varrho i}=\frac {aS_\varrho }{q}\sum _{j=N'_i}^{N_i}j^{a-1}\left (\frac x\varrho \right )^j,\;S_\varrho =\sum _{h=1}^q\varrho ^{h^k},\;\varrho =e^{2\pi i\frac pq}. \] In \(\mathfrak M''_1\) dagegen wird in der \textit{Winogradoff}schen Weise nochmals eine Approximation durch \textit{Farey} brüche höherer Ordnung vorgenommen für die Abschätzung von \(f_i(x)\). Die \(\mathfrak M_2\) endlich nehmen eine Art Mittelstellung zwischen den \(\mathfrak M_1\) und den \(\mathfrak M_3\) ein. Das Resultat lautet: Die Anzahl der Darstellungen (1) unter den Bedingungen \[ N'_i\leqq m_i^k\leqq N_i \tag{2} \] ist \[ r(n)=\frac {T}{k^s\Gamma (s)(\prod \lambda _i)^{1-a}}\mathfrak S(n)n^\gamma +O(n^{\gamma -d}), \] wo \(d=d(s,\beta )>0\). \(T\) ist darin eine aus den Zahlen \(A_i, A'_i\) gebildete positive Zahl, die in enger Beziehung zur Anzahl \(\nu (n)\) der Lösungen von \[ n=j_1+\cdots +j_s \] mit \[ N'_i\leqq j_i\leqq N_i \] steht; \(\mathfrak S(n)\) ist die bekannte singuläre Reihe des \textit{Waring}schen Problems; ferner ist \(\gamma =sa-1-(s-1)\beta \). Für \(s\geqq s_0\) läßt daher jedes \(n\) von einem gewissen \(n_0\) an eine Darstellung (1) unter den Bedingungen (2) zu. Die benötigten Hilfsätze werden zum Teil aus \textit{Landau}s Vorlesungen über Zahlentheorie (Leipzig, 1927; F. d. M. 53, 12 (JFM 53.0123.17)) und aus der schon zitierten Arbeit des Verf. übernommen.