On a theorem of Hardy and Ramanujan. (Q2616908)

Bezeichnungen wie in vorstehendem Referat. Nach \textit{Hardy} und \textit{Ramanujan} (s. das Zitat in vorstehendem Referat) ist für \(\delta >0\) die Anzahl der ganzen Zahlen \(n\leqq x\), für welche eine der Ungleichungen \[ \begin{matrix} f(n) > \log \log x+A(\log \log x)^{\frac 12+\delta }, \\ f(n) < \log \log x-A(\log \log x)^{\frac 12+\delta } \end{matrix} \tag{1} \] gilt, ein \(o(x)\). Dasselbe gilt für \(F(n)\). Verf. gibt für diesen Satz einen kurzen indirekten Beweis. Er betrachtet \[ R(x)=\sum _{n=1}^x(f(n)-\log \log x)^2 \] und zeigt \(R(x)=O(x\log \log x)\), was zu den Ungleichungen (1) im Widerspruch steht. Ebenso zeigt er: \[ D(x)= \sum _{n=1}^x(F(n)-\log \log x)^2=O(x\log \log x). \]