Abundant numbers. (Q2616909)

Bedeute \(A(n)\) die Anzahl der abundanten Zahlen (d. h. der Zahlen \(m\) mit \(\frac {\sigma (m)}m\ge 2, \sigma (m)=\sum _{d\mid m}d\)) unterhalb \(n\). Verf. beweist durch eine kleine rechnerische Verbesserung einer vom Ref. herrührenden Methode [``Über numeri abundantes'', Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1932, 322--328 (1932; JFM 59.0169.05), daß \[ \limsup\frac {A(n)}{n}<0,4454. \] (Ref. hat inzwischen eine bessere Abschätzung bewiesen [Sitzungsber. Preuß. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1933, 280--293 (1933) (loc. cit)]. Der Beweis der vom Verf. behaupteten Abschätzung nach unten: \[ \liminf \frac {A(n)}n>0,2947 \] ist fehlerhaft. Sind nämlich \(a_1, a_2,\ldots,a_k\) ganze Zahlen, so ist die Dichte aller Zahlen, welche durch mindestens ein \(a_\varkappa \) teibar sind, gleich \[ \sum \frac 1{a_\varkappa }-\sum _{\varkappa <\lambda }\frac 1{a_{\varkappa \lambda }}+\sum _{\varkappa <\lambda <\mu } \frac 1{a_{\varkappa \lambda \mu }}-\cdots +(-1)^{k-1}\frac 1{a_{12\dots k}}, \] wo unter \(a_{\alpha \beta \cdots \zeta }\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(a_\alpha, a_\beta,\ldots,a_\zeta \) zu verstehen ist, nicht aber \[ \sum \frac 1{a_\varkappa }-\sum _{\varkappa <\lambda }\frac 1{a_\varkappa a_\lambda }+\sum _{\varkappa <\lambda <\mu } \frac 1{a_\varkappa a_\lambda a_\mu }-\cdots +(-1)^{k-1}\frac 1{a_1a_2\cdots a_k}, \] mit welcher Formel Verf. operiert.