The lattice points in a circle. (Q2616919)

Bekanntlich gilt für die Anzahl \(R(x)\) der Gitterpunkte im Kreise \(u^2+v^2\leqq x\) die Abschätzung \(R(x)=\pi x+O(x^\alpha )\). Frühere Untersuchungen über den Rest \(R(x)-\pi x\) lieferten für die untere Grenze \(\vartheta \) von \(\alpha : \frac 14\leqq \vartheta \leqq \frac {27}{82}= 0,329\cdots.\) Verf. beweist \(\vartheta \leqq \frac {15}{46}=0,326\cdots \). Ein Teil der Hilfsätze, die sich auf Summen der Form \(\sum _m\sum _ne^{2\pi if(m,n)}\) bzw. die entsprechenden Doppelintegrale beziehen, findet sich in gleicher oder ähnlicher Form bereits in einer anderen Arbeit des Verf. (On Epsteins zetafunction, Proceedings L. M. S. (2) 36 (1934), 485-500; F. d. M.\ 60\(_{\text{I}}\)). Ihre Anwendung stellt eine Übertragung der Methode von \textit{Van der Corput} auf zwei Variable dar. Die Summen, auf welche das Gitterpunktproblem führt, sind von der Form \[ \sum _m\sum _n\frac {\exp (2\pi i\sqrt {(m^2+n^2)x})}{(m^2+n^2)\mu } \qquad \left (\mu =\frac 34 \text{ oder } \frac 45\right ). \] Sie sind schwieriger zu behandeln, als die \textit{Epstein}sche Zetafunktion.