Über Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden: eine Anwendung des Hausdorffschen Maßbegriffes. (Q2616920)

Es sei \[ Q(u)=\sum _{j=1}^r \alpha _ju_j^2 \] eine positiv-definite quadratische Form in \(r\geqq 5\) Variabeln. Die Anzahl \(A(x)\) der Gitterpunkte des Ellipsoids \(Q(u)\leqq x\) wird bekanntlich in erster Annäherung gegeben durch das Volumen \(V(x)\) der Ellipsoids, oder genauer: \(P(x)=A(x)-V(x)\) ist in \(x\) von niedrigerer Größenordnung als \(V(x)=Cx^{\frac 12r}\), wo \(C\) eine von \(x\) unabhängige Konstante ist. Falls die Verhältnisse der \(\alpha _j\) alle rational sind, ist das Problem der Bestimmung der Größenordnung von P(x) als gelöst anzusehen. Keineswegs ist das aber der Fall, wenn die Verhältnisse der \(\alpha _j\) nicht alle rational sind, oder wie Verf. sagt: für ``irrationale'' Formen \(Q(u)\). Verf. betrachtet jetzt spezielle irrationale Formen, und zwar \[ Q(u)=\sum _{j=1}^\sigma \beta _j(u_{1,j}^2+u_{2,j}^2+\cdots +u_{r_j,j}^2), \] wo \(\beta _1>0, \beta _2>0,\dots, \beta _\sigma >0\), \(r_j\geqq 4\), \(\sigma \geqq 2\), \(r=r_1+r_2+\cdots +r_\sigma \), \(r_j\) und \(\sigma \) ganz. Um die Resultate des Verf. bezüglich dieser Form an aussprechen zu können, sei die ``genaue Größenordnung'' \(f\) von \(P\) definiert als die untere Grenze aller reellen Zahlen \(a\), für die \(P=O(x^a)\). In einer früheren Abhandlung (Math. Ann. 100 (1928), 699-721; F. d. M.\ 54, 203) hat Verf. bewiesen: 1. Für fast alle \(\beta _1,\beta _2,\dots,\beta _\sigma \) ist \(f=\frac r2-\sigma \) (fast alle bedeutet: alle mit Ausnahme einer Menge vom \textit{Lebesgue}schen Maß Null im \(\sigma \)-dimensionalen Raume der \(\beta _1,\beta _2,\dots,\beta _\sigma \)). 2. Für alle \(\beta _1,\beta _2,\dots,\beta _\sigma \) ist \(\frac r2-\sigma \leqq f\leqq \frac r2-1\), und es gibt auch \(\beta _j\), für die \(f=\frac r2-\sigma \) und \(f=\frac r2-1\) (letzteres für``rationale'' Formen \(Q(u)\)). In der vorliegenden Abhandlung wird bewiesen: 3. Zu jeder Zahl \(f\) zwischen \(\frac r2-\sigma \) und \(\frac r2-1\) gibt es eine Form \(Q\) mit der genauen Größenordnung \(f\). (Für \(\sigma =2\) war dieses Resultat aus einer früheren Abhandlung des Verf. bekannt (Tôhoku Math. Journ. 30 (1929), 354-371; F. d. M.\ 55\(_{\text{I}}\), 111). Der Beweis verläuft fogendermaßen: Es wird gezeigt, daß die Menge derjenigen \((\beta _2,\beta _3,\dots,\beta _\sigma )\) (es wird \(\beta _1\) angenommen, was keine wesentliche Einschränkung ist) in einem \((\sigma -1)\)-dimensionalen Raum, für die (bei dem vorgegebenen \(f\) zwischen \(\frac r2-\sigma \) und \(\frac r2-1\)) \(P=\Omega (x^f)\) ist, wesentlich ``größer'' ist (ein größeres Maß hat) als die Menge derjenigen \(\beta _2,\dots,\beta _\sigma \), für die \(P=\Omega (x^f(\log x)^{6\sigma +5})\). Der hier vom Verf. benutzte Maßbegriff ist das von \textit{Hausdorff} eingeführte Maß (Math. Ann. 79 (1919), 157-179; F. d. M.\ 46, 292). Der \textit{Lebesgue}sche Maßbegriff ist hier ungeeignet, weil die betrachteten Mengen alle das \textit{Lebesgue}sche Maß Null haben. Es werden weiter naturgemäß Sätze über diophantische Approximationen benutzt, und zwar simultane diophantische Approximationen der Zahlen \(\beta _2,\beta _3,\dots,\beta _\sigma \). Für \(\sigma =2\) handelt es sich deshalb um die diophantische Approximation einer einzigen Zahl. In diesem Fälle läßt sich die Form \(Q(u)\) mit vorgegebenem \(f\) explizit aufstellen. Für \(\sigma >2\) ist das nicht möglich. Dann hadelt es sich um die simultane diophantische Approximation mehrerer Zahlen \(\beta _2,\beta _3\dots,\beta _\sigma \) und man wird gezwungen, mengentheoretische Methoden anzuwenden.