On the class-number in imaginary quadratic fields. (Q2616926)

Beweis von Gaußschen Vermutung (G): Zu jeder vorgegebenen Klassenzahl \(H\) gibt es nur endlich viele imaginär-quadratische Zahlkörper \(P(\sqrt d)\) (\(d<0\) die Körperdiskriminante). Da nach Hecke bekannt ist, daß dieser Satz unter der Annahme der Riemannschen Vermutung (R) für alle Dirichletschen \(L\)-Reihen \(L(s,\chi )\) mit Charakteren \(\chi \) der Ordnung Zwei richtig ist (R\(\rightarrow\)G), so genügt es, seine Richtigkeit auch unter der gegenteiligen Annahme (R) zu zeigen (\(\bar {\text R} \rightarrow \text G\)). Durch formale Umkehrung kommt dies darauf hinaus aus der Annahme \(\bar {\text G}\) der Existenz unendlich vieler \(P(\sqrt d)\) mit einer festen Klassenzahl \(H\) auf die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung für alle genannten \(L(s,\chi )\) zu schließen (\(\bar {\text G} \rightarrow \text R\)). In dieser Richtung waren in neuester Zeit zwei Teilresultate gewonnen worden: 1. \textit{M. Deuring}, Imaginäre quadratische Zahlkörper mit der Klassenzahl 1. Math. Z. 37, 405--415 (1933; JFM 59.0946.03). Aus der Existenz unendlich vieler \(P(\sqrt d)\) mit der Klassenzahl \(H=1\) folgt die Richtigkeit der \textit{Riemann}schen Vermutung für die \textit{Riemann}sche \(\zeta \)-Funktion \(\zeta (s)\). 2. \textit{L. J. Mordell}, [J. Lond. Math. Soc. 9, 289--298 (1934; JFM 60.0156.04)] Aus der Existenz unendlich vieler \(P(\sqrt d)\) mit irgendeiner festen Klassenzahl \(H\) folgt die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung für \(\zeta (s)\). Die Beweise dieser Tatsachen beruhen auf einer asymptotischen Entwicklung der Dedekindschen \(\zeta \)-Funktion \[ Z(s)=\zeta (s)L(s,\psi )=\sum _{\mathfrak n}\frac 1{N(\mathfrak n)^s} \] von \(P(\sqrt d)\) (\(\psi \) der zu \(P(\sqrt d)\) gehörige Dirichletsche Charakter \(\psi (n)=(\frac dn)\) der Ordnung Zwei; \(\mathfrak n\) durchläuft alle ganzen Ideale von \(P(\sqrt d)\)) mittels der Euler-Maclaurinschen Summenformel. Verf. verallgemeinert diese Methode auf die aus den Charakteren \(\chi \) der Ordnung Zwei von \(P\) durch Normübertragung auf \(P(\sqrt d)\) entspringenden \(L\)-Reihen \[ \Lambda (s,\chi )=L(s,\chi )L(s,\chi \psi )=\sum _{\mathfrak n}\frac {\chi (N(\mathfrak n))}{N(\mathfrak n)^s}. \] Die asymptotische Entwicklung lautet hier: \[ \Lambda (s,\chi )\sim \zeta (2s).\prod _{\chi (p)=0}\left (1-\frac 1{p^{2s}}\right ).\sum _{i=1}^H \frac {\chi (N(\mathfrak a_i))}{N(\mathfrak a_i)^s}. \] Sie bezieht sich auf \(d\rightarrow -\infty \) durch die Diskriminanten solcher Körper \(P(\sqrt d)\), deren Klassenzahl den festen Wert \(H\) hat; \(s\) ist fest mit \(2>\Re(s)>\frac 12\) gedacht; \(\mathfrak a_i\) durch läuft Repräsentantensystem von ganzen Idealen kleinster Norm aus den \(H\) Idealklassen von\(P(\sqrt d)\). Auf Grund des überwiegenden, leicht berechenbaren Beitrags der ambigen Idealklassen ergibt sich die asymptotische Abschätzung: \[ \sum _{i=1}^H \frac {\chi (N(\mathfrak a_i))}{N(\mathfrak a_i)^s}\gtrsim \frac 1{4H^2} \] für \(d\rightarrow -\infty \) wie vorher und \(\Re(s)\ge \frac 12\). Daraus folgt dann sofort, daß der von \(d\) unabhängige Faktor \(L(s,\chi )\) von \(\Lambda (s,\chi )\) für \(\Re(s)>\frac 12\) nicht verschwindet.