On the Riemann hypothesis and imaginary quadratic fields with a given class number. (Q2616930)

Es sei \(h(d)\) die Anzahl der Idealklassen in \(R(\sqrt {-d})\). Verf. beweist unter Benutzung einer früherer Resultate [Proc. Lond. Math. Soc., II. Ser. 32, 501--556 (1931; JFM 57.0224.02; Zbl 0002.33001)] einen etwas weitergehenden Satz als \textit{M. Deuring} [Imaginäre quadratische Zahlkörper mit der Klassenzahl 1, Math. Z. 37, 405--415 (1933; JFM 59.0946.03; Zbl 0007.29602)], nämlich: Wenn es zu einem vorgegebenen \(h\) unendlich viele Körper \(R(\sqrt {-d})\) gibt, so daß \(h(d)=h\) ist, so ist die Riemannsche Vermutung richtig. Der Beweis beruht auf einer asymptotischen Formel für \(\zeta (s)L_d(s)\) mit \(d\rightarrow \infty \), welche zu der Annahme, \(\zeta (s)\) habe eine Nullstelle mit \(\sigma >\frac 12\) oder eine mehrfache Nullstelle mit \(\sigma =\frac 12\), im Widerspruch steht. Verf. weist in einer zusätzlichen Bemerkung selbst darauf hin, daß \textit{H. Heilbronn} [Q. J. Math., Oxf. Ser. 5, 150--160 (1934; JFM 60.0155.01; Zbl 0009.29602), S. 155] inzwischen bewiesen hat, das \(h(d)\rightarrow \infty \) mit \(d\rightarrow \infty \), so daß die Voraussetzung des oben angegebenen Satzes nicht zutrifft.