On some arithmetical results in the geometry of numbers. (Q2616938)

Verf. beweist folgende Verallgemeinerung des bekannten Minkowskischen Satzes über konvexe Körper [vgl. \textit{H. Minkowski}, Geometrie der Zahlen. Leipzig: Teubner (1896; JFM 27.0127.09), 76]: Sei \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\) eine für alle reellen Werte von \(x_1,x_2,\dots,x_n\) definierte, reelle Funktion mit den folgenden drei Eigenschaften: \[ f(tx_1,tx_2,\dots,tx_n)=t^\delta f(x_1,x_2,\dots,x_n) \tag{A} \] für alle reellen \(t>0\); dabei bedeutet \(\delta \) eine positive, von den \(x_\nu \) und \(t\) unabhängige Konstante. \[ f(x_1-y_1,x_2-y_2,\dots,x_n-y_n)\le k(f(x_1,x_2,\dots,x_n)+f(y_1,y_2,\dots,y_n)), \tag{B} \] (C) Die Zahl \(N\) der Gitterpunkte im Bereich \[ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\le G \] ist für hinreichend großes \(G\) größer als \(JG^\frac n\delta \), wo \(J>0\) eine von \(G\) unabhängige Konstante bedeutet; \(N\) sei endlich für beschränktes \(G\). (Die Voraussetzung (C) ist z. B. erfüllt, wenn der Hyperkörper \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\le 1\) ein Volumen \(V>0\) besitzt, und zwar kann man \(J=V\) wählen.) Unter diesen Voraussetzungen gibt es einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) mit \[ f(x_1,x_2,\dots,x_n) \leqq 2kJ^{-\frac \delta n}. \] Der außerordentlich einfache Beweis verläuft so: Wählt man \(g>J^{-\frac \delta n}\) und \(M\) hinreichend groß, so enthält der Bereich \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\le g\cdot M^\delta \) wegen (C) mehr als \(M^n+1\) verschiedene Gitterpunkte, also zwei, \(y_\nu \) und \(z_\nu \), modulo \(M\) kongruente; setzt man \(y_\nu -z_\nu =Mu_\nu \), so hat man wegen \((A)\) und \((B)\) \[ \begin{matrix} f(u_1,u_2,\dots,u_n) &= &M^{-\delta }.f(y_1-z_1,y_2-z_2,\dots,y_n-z_n) \\ &\le & M^{-\delta }.k.(f(y_1,y_2,\dots,y_n)+f(z_1,z_2,\dots,z_n)) \\ &\le & M^{-\delta }.k.2gM^\delta =2kg, \end{matrix} \tag{1} \] und man sieht leicht, daß hierin der Grenzübergang \(g\rightarrow J^{-\frac \delta n}\) erlaubt ist, weil nur endlich viele \(u_1,u_2,\dots,u_n\) der Ungleichung (1) genügen. (Vgl. zu diesem Beweis die Arbeit des Verf. in [J. Lond. Math. Soc. 8, 179--182 (1933; JFM 59.0216.02)].) Der Satz kann in naheliegender Weise für mehrere Funktionen verallgemeinert werden; ist ferner \(\varphi (\xi,\eta )\) eine reelle Funktion der reellen Variablen \(\xi,\eta \), und \[ \varphi (t\xi,t\eta )=t\varphi (\xi,\eta ) \;\text{ für }\;\varphi (\xi,\eta )\le \varphi (\xi ',\eta ') \;\text{ für }\;\xi \le \xi ', \eta \le \eta ', \] so kann (B) ersetzt werden durch \[ f(x_1-y_1,x_2-y_2,\dots,x_n-y_n)\le \varphi (f(x_1,x_2,\dots,x_n),f(y_1,y_2,\dots,y_n)), \] wenn man nur \(2k\) durch \(\varphi (1,1)\) ersetzt. Von den Anwendungen, die Verf. gibt, sei folgende erwähnt. Sei \(S\) ein semikonvexer Hyperkörper, d.h. es gebe \(k\ge 2\) so, daß für je zwei Punkte \(P,Q\) aus \(S\) der Punkt \(P+Q\) in \(kS\) liegt. \(S\) habe einen Mittelpunkt, der mit dem Nullpunkt zusammenfalle. Besitzt dann \(S\) ein Volumen \(\ge k^n\), so enthält \(S\) mindestens einen vom Mittelpunkt verschiedenen Gitterpunkt.