Über eine besondere Klasse rekurrierend definierter Zahlenfolgen und ihr Konvergenzverhalten. (Q2616961)

In einer gemeinsam verfaßten Arbeit beweisen \textit{Knopp} und \textit{Schur} einen Hilfssatz, der sich mit den Konvergenzeigenschaften einer Zahlenfolge befaßt, die durch eine dreigliedrige lineare Rekursion definiert ist (1925; F. d. M. 51, 145 (JFM 51.0145.*)). Verf. bemerkt, daß sich diese Rekursionsformel als eine nur zweigliedrige, aber nicht lineare Rekursionsformel schreiben läßt, und daß sich dann ein noch kürzerer Beweis ergibt, wenn man nur die Eigenschaften des unteren und oberen Limes einer Zahlenfolge benutzt. Diese Beweismethode läßt sich überdies auf eine ganze Klasse \((p+1)\)-gliedriger Rekursionen übertragen und liefert so den folgenden sehr allgemeinen Konvergenzsatz: Ist die Funktion \(f(x_1;x_2,\dots,x_{p+1})\) in einem offenen Intervall des \((p+1)\)-dimensionalen Raumes definiert, genügt sie und die Folge \((c_n)\) gewissen Voraussetzungen (deren Formulierung hier zu weit führen würde), und werden \(a_1,a_2,\dots,a_{n_0-1}\) willkürlich gewählt, so wird durch die Gleichung \[ f(a_n; x_2,\dots,x_{p+1})= c_n,\quad (n\geq n_0), \] in der \(x_2,\dots,x_{p+1}\) durch gewisse \(a_\nu \) mit \(\nu <n\) ersetzt werden müssen, die Folge der \(a_n,n\geq n_0\), eindeutig bestimmt, und diese konvergiert gegen einen angebbaren Grenzwert.