On the summability of series by Borel's and Mittag-Leffler's methods. (Q2616976)

\textit{Hardy} und \textit{Littlewood} haben mehrfach betont, daß die Stärke eines Summierungsverfahrens seiner Feinheit etwa umgekehrt proportional ist. So ist etwa eine \(B\)-summierbare Reihe immer schon dann konvergent, wenn ihre Glieder \(O(n^{-\frac 12})\) sind, eine \(C_1\)-summierbare Reihe im allgemeinen erst dann, wenn sie \(O(n^{-1})\) sind. Oder: Eine \(B\)-summierbare Reihe ist schon \(C\)-summierbar, falls für irgendein \(K\) ihre Glieder \(O(n^K)\) sind. In ähnlicher Richtung liegt der hier bewiesene Satz: Es sei \(\beta >\alpha >0\), \(\sum a_n\) sei \((B,\beta )\)-summierbar und \[ A_\alpha (t)= \sum \frac {a_n}{\Gamma (\alpha n+1)}t^{\alpha n}\eqno ({}^\ast ) \] beständig konvergent. Dann ist \(\sum a_n\) auch schon \((B,\alpha )\)-summierbar. Dabei heißt \(\sum a_n\) \((B,\alpha )\)-summierbar zum Werte \(s\), falls \(({}^\ast )\) beständig konvergiert und das Integral \[ \int _0^\infty e^{-t} A_\alpha (t)\,dt \] den Wert \(s\) hat. - Der Beweis wird nur für \(\alpha =1\), \(\beta =2\) vollständig durchgeführt.