Über restringierte Limitierung von Doppelfolgen. (Q2616982)

Diese Arbeit schließt sich einer früheren Untersuchung (M. Z. 37 (1933), 77-84; F. d. M. \(59_{\text I}\), 247) an. Dort wurden folgende Sätze bewiesen: I. Eine konvergente Doppelfolge \(s_{mn}\) ist dann und nur dann \(AB\)-limitierbar, wenn \(\limsup _{m,n\to \infty }|S_{mn}|\) endlich ist. II. Ist die Doppelfolge \(s_{mn}\) zugleich konvergent und \(AB\)-limitierbar, so ist \(AB{-}\lim _{m,n\to \infty } s_{mn}=\lim _{m,n\to \infty }s_{mn}\). Es gilt jetzt, diese Sätze auf den Fall restringierter Konvergenz und restringierter Limitierbarkeit zu verallgemeinern. Für das Verfahren der arithmetischen Mittel sind analoge Sätze im zitierten Artikel bewiesen. Für allgemeine Transformationen jedoch gilt nicht einmal der Satz, daß eine beschränkte, restringiert konvergente Doppelfolge zum gleichen Wert restringiert \(AB\)-limitierbar ist. Dieser Satz gilt nur, wenn die Koeffizienten der Transformationen außer den gewöhnlichen Bedingungen noch die folgende Bedingung erfüllen: Für jedes \(\theta \) aus \(0<\theta <1\) sollen \[ \theta \limsup _{m,n\to \infty }\sum _{0\leq \nu \leq n}\sum _{0\leq \mu \leq \vartheta \nu }|a_{m\mu }||b_{n\nu }| \] und \[ \theta \limsup _{m,n\to \infty }\sum _{0\leq \mu \leq m}\sum _{0\leq \nu \leq \vartheta \mu }|a_{m\mu }||b_{n\nu }| \] für \(\vartheta \to 0\) gegen Null streben. Hier bedeutet \(\theta \limsup _{m,n\to \infty }u_{mn}\) den größten Häufungwert derjenigen \(u_{mn}\), für die \(\theta n<m<\frac {n}{\theta }\) oder \(\theta m<n<\frac {m}{\theta }\) ist. Umgekehrt genügen die Koeffizienten derjenigen \(AB\)-Transformationen, für die jede beschränkte restringiert-konvergente Doppelfolge zugleich \(AB\)-limitierbar ist, dieser Bedingung. Die Bedingung reicht nun aber, wie an einfachen Beispielen gezeigt wird, nicht aus für den weiteren Satz, daß jede restringiert-konvergente Doppelfolge dann und nur dann \(AB\)-limitierbar ist, wenn \(\limsup _{m,n\to \infty }|S_{m,n}|\) endlich ist. Verf. gibt eine Klasse von \(AB\)-Transformationen an, für die der letzte Satz richtig ist. Zu dieser Klasse gehören Transformationen wie die \textit{Cesàro}schen und \textit{Euler-Knopp}schen Verfahren für positive, ganzzahlige Ordnung.