Sur une fonction limite liée aux polynômes de Lagrange et aux ensembles. (Q2616996)

Es seien \(\zeta _0,\dots,\zeta _n\) \(n+1\) Punkte einer abgeschlossenen und beschränkten Menge \(E\) der Ebene. Es seien \(\varphi (z)=\prod _i(z-\zeta _i)\) und \(L_j(z,\zeta )=\frac {\varphi (z)}{\varphi '(\zeta _j)(z-\zeta _j)}\) \((j=0,\dots,n)\) die \textit{Lagrange}schen Interpolationspolynome. Verf. betrachtet die Funktion \[ L_n(z)=\min _{\zeta \subset E}\left (\max _{0\leq j\leq n}|L_j(z,\zeta )|\right ), \] wobei \(\zeta \) alle möglichen Punktsysteme durchläuft. Die Folge \(\root n\of {L_n(z)}\) \((n=1,2,\dots )\) strebt an jedem Punkt der Ebene gegen eine Grenzfunktion \(l(z,E)\). Ferner wird \(\Delta _n=\max _\zeta \left (\min _j|\varphi '(\zeta _j)|\right )\) gebildet; hier strebt die Folge \(\root n\of {\Delta _n}\) gegen eine nur von \(E\) abhängende Grenze \(\delta (E)\). Verf. gibt Beziehungen zwischen \(\delta (E)\) und \(l(z,E)\) an; z. B. ist \(l(z,E)\) außerhalb von \(E\) entweder endlich oder unendlich, je nachdem \(\delta (E)\) positiv oder Null ist.