Deux théorèmes sur les familles des fonctions de Baire. (Q2617022)

Verf. beweist: (1) Ist \(\Phi \) eine Familie von \(\aleph _1\) \textit{Baire}schen Funktionen einer reellen Veränderlichen (oder allgemeiner von Funktionen, die stetig sind, wenn man eine Menge erster Kategorie vernachlässigt), so existiert eine nicht-abzählbare, lineare Menge, die durch jede Funktion der Familie \(\Phi \) in eine Nullmenge transformiert wird. (2) Ist \(\Phi \) eine Familie von \(\aleph _1\) \textit{Baire}schen Funktionen (oder allgemeiner von meßbaren Funktionen) einer reellen Veränderlichen, so existiert eine nicht-abzählbare, lineare Menge, die durch jede Funktion der Familie \(\Phi \) in eine Menge erster Kategorie transformiert wird. Bei Voraussetzung der Kontinuumhypothese kann man unetr \(\Phi \) die Familie aller \textit{Baire}schen Funktionen einer reellen Veränderlichen verstehen. Für die meßbaren Funktionen läßt sich (2) noch so verschärfen. (2a) Ist \(\Phi \) eine Familie von \(\aleph _1\) meßbaren Funktionen einer reellen Veränderlichen und \(\Phi _1\) eine Familie von \(\aleph _1\) perfekten, linearen Mengen, so existiert eine nicht-abzählbare, lineare Menge, die durch jede Funktion der Familie \(\Phi \) in eine Menge transfomiert wird, welche auf jeder Menge der Familie \(\Phi _1\) von erster Kategorie ist. Mittels der Kontinuumhypothese folgt daraus ein früherer Satz des Verf. (C. R. Soc. sc. Varsovie 22 (1929), 58).