The Cauchy property of the generalised Perron integrals. (Q2617056)

\textit{J. C. Burkill} hat (M. Z. 34 (1931), 270-278; Proceedings L. M. S. (2) 34 (1932), 314-322; F. d. M. 57, 58 (JFM 57.0058.*)) zwei Verallgemeinerungen \(AP\) und \(CP\) des \textit{Perron}schen Integralbegriffes gegeben. Für diese beweist Verf. folgende beiden Sätze: (1) \(f(x)\) sei \(AP\)-integrabel in \((a,x)\), wobei \(a\leq x<b\) sei, und habe das Integral \(F(x)\). Ist dann \(\lim _{x\to b}F(x)=B\) über eine Punktmenge vorhanden, die in \(b\) die linksseitige Dichte 1 besitzt, so ist \(f(x)\) auch \(AP\)-integrabel in \((a,b)\), und zwar ist \(\int _a^bf(x)\,dx=B\). (2) \(f(x)\) sei \(CP\)-integrabel in \((a,x)\), wobei \(a\leq x<b\) sei, und habe das Integral \(F(x)\), das selbst über \((a,b)\) im speziellen \textit{Denjoy}schen Sinne integrabel sei. Wenn dann für \(\varepsilon >0\) der Grenzwert \(\lim _{\varepsilon \to 0}\frac 1\varepsilon \int _{b-\varepsilon }^bF(x)\,dx=B\) existiert, so ist \(f(x)\) auch \(CP\)-integrabel in \((a,b)\), und zwar ist \(\int _a^bf(x)\,dx=B\).