Mehrdimensionale Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlichen. (Q2617077)

Für zwei Dimensionen handelt es sich u. a. um folgendes: Es bezeichne \(X\) den Punkt \(x_1,x_2\) und \([A;B]\) das ``Intervall'', bei dem \(x_1\) von \(a_1\) nach \(b_1\) und \(x_2\) von \(a_2\) nach \(b_2\) läuft; es ist also \([A;B]\) von \([B;A]\) zu unterscheiden. Ist jedem Intervall \([A;B]\) eine Zahl \(\Psi [A;B]\) zugeordnet, so heißt \(\psi \) eine additive Intervallfunktion, wenn \[ \Psi [A;b_1,x_2]+\Psi [a_1,x_2,B]=\Psi [A;B] \] und \[ \Psi [A;x_1,b_2]+\Psi [x_1,a_2,B]=\Psi [A;B] \] gilt. Es ist dann z. B. \[ \Psi [A;B]=\Psi [X;B]-\Psi [X;a_1,b_2]-\Psi [X;a_2,b_1]+\Psi [X;A]. \] Ist \(f(x)\) eine Punktfunktion, so ist \[ \Delta f[A;B]=f(B)-f(a_1,b_2)-f(b_1,a_2)+f(A) \] eine additive Intervallfunktion; für die Punktfunktion \(\psi (X)=x_1x_2\) ist z. B. \[ \Delta \psi [A;B]=(b_1-a_1)(b_2-a_2). \] Eine Funktion \(f(X)\) heißt \(\Delta \)-stetig nach \(X\) an der Stelle \(A\), wenn \[ \lim _{X\to A} \Delta f[A;X]=0 \] ist, und \(\Delta _1\)-stetig nach \(x_1\) bzw. \(x_2\), wenn \(\lim _{x_1\to a_1}\Delta f[A; x_1,a_2]=0\) bzw. \(\lim _{x_2\to a_2}\Delta f[A; a_1,x_2]=0\) ist. Für die Stetigkeit im gewöhnlichen Sinne an der Stelle \(A\) ist notwendig und hinreichend, daß \(f\) an dieser Stelle \(\Delta \)-stetig und \(\Delta _1\)-stetig nach beiden Argumenten \(x_1\) und \(x_2\) ist. Für eine Punktfunktion \(f(X)\) heißt im Falle der Existenz des Limes \[ Df(A)=\lim _{X\to A}\frac {\Delta f[A;X]}{\Delta \psi [A;X]} \] die zweidimensionale Ableitung von \(f\) der Stelle \(A\); die eindimensionalen Ableitungen sind die gewöhnlichen partiellen Ableitungen. Es folgen Sätze über die mehrdimensionalen partiellen Ableitungen; die Existenz des totalen Differentials im Sinne von \textit{Stolz}; die Stetigkeit von Funktionen, die mehrdimensionale Ableitungen haben; die Übertragung des \textit{Rolle}schen und des Mittelwertsatzes; ein zweiter Mittelwertsatz; Ableitungen höherer Ordnung und die \textit{Taylor}sche Entwickelung.