Sulla differenziabilità totale delle funzioni di più variabili reali. (Q2617078)

Die Arbeit sucht, den Begriff der Differenzierbarkeit, wie er durch \textit{Stolz} festgelegt ist, durch Einführung neuer Begriffe zu klären und seiner geometrischen Bedeutung gerecht zu werden. Sie beschränkt sich dabei im Wesentlichen auf zwei Veränderliche, mit dem Hinweis, daß die Ausdehnung der Ergebnisse auf mehr Veränderliche einfach sei. Jede ebene Punktmenge \(I\) besitzt in einem Häufungspunkt \(P_0\) mindestens eine Halbtangente und eine uneigentliche Sehne. Mithilfe dieser schon früher vom Verf. aufgestellten, hier in \S {} 1 wiederholten Begriffe definiert er in \S {} 3 den ``regulären Häufungspunkt''. Es sei jetzt \(f(P)\) stets eine Funktion eines zweidimensional veränderlichen Punktes \(P(x,y)\) mit dem Definitionsgebiet \(I\), dann weist Verf. in \S {} 5 die Übereinstimmung einer neuen, zunächst scheinbar weiteren (nicht engeren, wie Verf. meint!) Differenzbarkeit mit der \textit{Stolz}schen nach; aus der neuen Formulierung ergibt sich aber der Satz von \textit{Guareschi}, daß \(f(P)\) genau dann in \(P_0\) differenzierbar ist, wenn die Fläche \(F\) \(\left (z=f(P)\right )\) im Punkte \(\overline P_0\) \(\left (P=P_0, z=f(P_0)\right )\) eine zur \(z\)-Achse nichtparallele Tangentenebene besitzt; das Differential von \(f\) in \(P_0\) ist dann eindeutig bestimmt; besitzt \(F\) in \(P_0\) nur eine Tangente, so erhält man ein lineares Differentialbüschel. In den \S \S {} 6, 7 werden die wichtigsten neuen Begriffe festgelegt: Die Überdifferenzierbarkeit von \(f\) in \(P_0\), wenn \[ \lim _{Q\to P_0,P\to P_0}\frac 1{QP}\left [f(P)-f(Q)-\alpha \Delta x-\beta \Delta y\right ]=0 \] ist, wobei \(\alpha \) und \(\beta \) Konstanten, \(\Delta x\) und \(\Delta y\) die Komponenten des Vektors \(QP\) sind. Hierzu gehörig: das Überdifferential \(\alpha \Delta x+\beta \Delta y\); ferner die Ableitung \(f'_\lambda (P_0)\) längs einer Halbtangente \(\lambda \) von \(I\); die Ultraableitung \(f_\lambda (P_0)\) längs einer uneigentlichen Halbsehne \(\lambda \) von \(I\); die Überableitung \(f^\ast _\lambda (P_0)\), ebenfalls längs einer uneigentlichen Halbsehne \(\lambda \). Nachdem die gegenseitigen Existenzverhältnisse dieser neuen Begriffe nach geprüft sind, zeigt sich in \S {} 8 die völlige Übereinstimmung der Differenzierbarkeit von \(f\) in einem regulären Häufungspunkt von \(I\) mit der Existenz der Ultraableitungen \(f_\lambda (P_0)\) längs jeder Halbtangente \(\lambda \), wenn \(f\) in \(P_0\) außerdem stetig ist; in den \S \S {} 9, 10 wird dies geometrisch ausgewertet. Es folgen in \S \S {} 11-14 Bedingungen für die Überdifferenzierbarkeit; nach \S {} 14 kann der Fall eintreten, daß \(f\) in \(P_0\) ein lineares Differentialbüschel, aber nur ein einziges, oder sogar gar kein Überdifferential besitzt. Die Ergebnisse der \S \S {} 17-20 sind, daß jede \textit{Jordan}kurve mit nur ``gewöhnlichen'' Punkten (``punkti semplici'', die definiert werden) eine stetig sich ändernde Tangente besitzt (also rektifizierbar ist) und jede \textit{Jordan}fläche mit nur gewöhnlichen Punkten eine stetig sich ändernde Tangentenebene (hier kann die Quadrierbarkeit nicht ohne weitere Voraussetzungen gefolgert werden). Der letztere Satz sagt gleichzeitig aus, daß \(f\) in einem Bereich genau dann überdifferenzierbar ist, wenn daselbst die beiden partiellen Ableitungen von \(f\) existieren und stetig sind. Mithilfe der in \S {} 21 eingeführten ``verallgemeinerten partiellen Ableitungen'' lassen sich in den \S \S {} 21, 22 weitere Bedingungen für die gewöhnliche Differenzierbarkeit von \(f\) in einem Bereich, in \S {} 23 für die Stetigkeit von \(f\) in einem Bereich aufstellen. Nachdem noch in den \S \S {} 24, 25 Bedingungen für das Vorhandensein relativer Extremwerte von \(f\), in \S {} 26 ein Analogon zum Theorem von \textit{Rolle} und in \S {} 27 Eigenschaften der Schmiegungshalbparabeln nachgewiesen werden, schließt die Arbeit in den \S \S {} 28, 29 mit einigen Untersuchungen über topologische Transformationen, die in folgendem elegantem Satz endigen: Eine in einem ebenen Bereich definierte Funktion \(f(P)\) ist in einem inneren Punkte \(P_0\) dieses Bereiches genau dann überdifferenzierbar, wenn zwischen den Punkten \(P\) einer Umgebung von \(P_0\) und den zugehörigen Werten von \(f(P)\) ein Homöomorphismus erster Ordnung besteht.