Sur une fonction de Minkowski. (Q2617089)

Eine Verallgemeinerung der Note des Verf.: Sur quelques points de la théorie des fonctions (C. R. 194 (1932), 44-46; F. d. M. 58). Für festes \(0<\alpha <1\) wird \[ F\left (\frac 01,\alpha \right )=1, F\left (\frac 10,\alpha \right )=0, \text{ weiter } F\left (\frac {p+r}{q+s},\alpha \right )=\alpha F\left (\frac pq,\alpha \right )+(1-\alpha )F\left (\frac rs,\alpha \right ) \] gesetzt, wenn \(F(x,\alpha )\) für die irreduzibeln Brüche \(x=\frac pq,\frac rs\) schon definiert ist; schließlich wird \(F(x,\alpha )\) für die irrationalen \(x\) als Limes von \(F(R,\alpha )\), für die rationalen \(R\to x\) definiert. Die Funktion \(2-2F(x,\frac 12)\) ist die in der früheren Arbeit behandelte Funktion. Ist \[ x=a_0+\frac 1{a_1+\frac 1{a_2+\cdots }}\quad (a_n\text{ ganz, }a_{n+1}\geq 1\text{ für }n\geq 0;a_0\geq 0), \] so ist \[ F(x,\alpha )=\alpha ^{a_0}-\alpha ^{a_0}(1-\alpha )^{a_1}+ \alpha ^{a_0+a_2}(1-\alpha )^{a_1}- \alpha ^{a_0+a_2}(1-\alpha )^{a_1+a_2}+-\cdots. \] Diese Funktion ist für \(-\infty <x<+\infty \) stetig, nimmt monoton an von \(+\infty \) zu 0, hat fast überall die Ableitung 0 und nirgends eine endliche Ableitung \(\neq 0\). Weiter wird die Definition von \(F\) auf komplexes \(x\) so ausgedehnt, daß gewisse naheliegende Funktionalgleichungen erfüllt sind, und es werden Angaben über das Verhalten dieser Funktion \(F\) im Komplexen gemacht.