Sur les séries de Fourier lacunaires. (Q2617115)

Zwei Eindeutigkeitssätze: (1) Für die in \((0,2\pi )\) \(L\)-integrierbare Funktion \[ f(t)\sim \sum _{i=1}^\infty (a_{n_i}\cos n_it+b_{n_i}\sin n_it) \] sei \(\sigma <1\) der Konvergenzexponent der Folge (\(n_i\)). Ferner sei \(f(t)\) um \(t_0\) beschränkt und verschwinde in einer Menge \(E\), für die \[ \liminf _{\alpha \to 0}\frac {m(D)}\alpha e^{\left (\frac 1\alpha \right )^\varrho }=0 \] ist. (\(D\) bezeichnet den Durchschnitt des Komplements von \(E\) mit dem Intervall \(|t-t_0|\leq \alpha \).) Ist dann \(\varrho >\frac \sigma {1-\sigma }\), so verschwindet \(f(t)\) fast überall. (2) Ist \(\sum _i\frac 1{n_i}\) konvergent und \(f(t)=\varphi (t)\) (\(\varphi (t)\) ``quasi-analytisch'') in einem Teilintervall von \((0,2\pi )\), so gilt das fast überall.