Sur un problème concernant les séries de Fourier. (Q2617116)

Verf. nennt \(t_0\) Nullstelle im Mittel von rechts der nach \textit{Lebesgue} integrierbaren Funktion \(f(t)\) von der Ordnung \(\varrho \), wenn \[ \limsup _{\alpha \to +0}\frac {\log \left (-\log \int _{t_0}^{t_0+\alpha }|f(t)|\,dt\right )}{-\log \alpha }=\varrho >0\text{ ist.} \] Er behauptet den Satz: \(f(t)\) habe die Nullstelle im Mittel \(t_0\) von der Ordnung \(\delta \). Sei \[ f(t)\sim \sum _{i=1}^\infty (a_{n_i}\cos n_it+n_{n_i}\sin n_it); \] der Konvergenzexponent von \(n_1,n_2,\dots,n_i,\dots \) sei \(\sigma \) und \(\sigma <1\). Wenn \(\delta >\frac \sigma {1-\sigma }\) ist, so ist \(f(t)\) fast überall Null. Umgekehrt sei \(p\) ganz, \(>0\), \(\varepsilon >0\) und \(t_0\) \((0<t_0<2\pi )\) gegeben. Man kann eine Funktion \(f_1(t)\) der Form \[ f_1(t)=\sum _{i=1}^\infty \left (a'_{n'_i}\cos n'_it+b'_{n'_i}\sin n'_it\right ) \] herstellen, für welche \(t_0\) Nullstelle im Mittel von der Ordnung \(\delta _1\) ist; wenn \(\sigma _1\) der Konvergenzexponent von \(\{n_i\}\) ist, finden die Beziehungen statt: \(\frac 1p-\varepsilon <\sigma _1<\frac 1p\); \(\frac {\sigma _1}{1-\sigma _1}-\varepsilon <\delta _1\leq \frac {\sigma _1}{1-\sigma _1}\). Der Beweis wird skizziert.