A trigonometrical series. (Q2617119)

Es wird eine trigonometrische Reihe angegeben, die in den Intervallen \(-\pi \leq t\leq \alpha \), \(\beta \leq t\leq \pi \) konvergiert und in dem Intervall \(\alpha <t<\beta \) außer an höchstens abzählbar vielen Punkten divergiert. Die Divergenzeigenschaft wird bewiesen mit Hilfe des \textit{Hardy-Littlewood}schen Satzes (Acta Math. 37 (1914), 193-239; F. d. M. 45, 305 (JFM 45.0305.*)), daß \[ \sum _{n=1}^\infty \frac {\cos n^2t}{\sqrt n} \] für alle mit \(\pi \) inkommensurablen \(t\) divergiert. Im Falle \(\alpha =-3\), \(\beta =3\) lassen sich die Koefficienten des Beispiels besonders einfach explizit angeben. Eine trigonometrische Reihe, die für \(0<t<c\) konvergent und für \(c<t<\pi \) außer höchstens in einer Menge vom Maße Null divergent ist, hat schon \textit{Neder} (Diss. Göttingen 1919; F. d. M. 47, 261 (JFM 47.0261.*)) angegeben.