The absolute summability \((A)\) of Fourier series. (Q2617132)

Wenn die Reihe \(\sum a_nx^n\) in \(0\leq x<1\) eine Funktion beschränkter Schwankung darstellt, so ist \(\sum a_n\) natürlich \textit{Abel}-summierbar und heißt dann absolut \textit{Abel}-summierbar. Es sei \(f(x)\) eine \(L\)-integrierbare Funktion der Periode \(2\pi \), und es bezeichne \(\Phi _\alpha (t)\) (für \(\alpha >-1\)) das \(\alpha \)-te \textit{Cesàro}sche Integralmittel der Funktion \[ \Phi (t)-\frac 12\left \{f(\vartheta +t)+f(\vartheta -t)-2s\right \}. \] Bewiesen wird: Ist für ein \(\alpha \geq 0\) die Funktion \(\Phi _\alpha (t)\) für kleine \(t>0\) von beschränkter Schwankung und \(\Phi _\alpha (t)\to 0\) mit \(t\to 0\), so ist die \textit{Fourier}reihe von \(f(t)\) in \(t=\vartheta \) absolut \textit{Abel}-summierbar zum Werte \(s\).