Un théorème sur l'ultraconvergence. (Q2617171)

Durch Anwendung einer Reihentransformation beweist Verf. den folgenden Überkonvergenzsatz: Es sei \(f(z)= \sum \limits _{n=0}^\infty a_n z^n\) eine in \(|z|<1\) und einer Umgebung des Punktes \(+1\) reguläre Funktion. Existiert ein \(\theta >0\) und ein \(\Phi \) mit \(0<\Phi <\frac {\pi }{2}\) derart, daß\ für unendlich viele natürliche Zahlen \(n_\lambda (\lambda =1, 2, \dots )\) die Koeffizienten \(a_n\) mit Indices \(n\) zwischen \(n_\lambda \) und \(n_\lambda (1+\theta )\) die Bedingung \(|\operatorname{arc} {a_n}|\leq \Phi \) erfüllen, dann konvergiert die Abschnittsfolge \[ \sum \limits _0^{n_\lambda } a_n z^n \qquad (\lambda =1,2,\dots ) \] gleichhmäßig in einem \(+1\) enthaltenden Intervall der reellen Achse gegen \(f(z)\); es findet also Überkonvergenz längst der reellen Achse statt. Der Satz stellt nur scheinbar eine ergänzung des \textit{Ostrowski}schen Überkonvergenzsatzes dar. Auf Grund eines bekannten Satzes von \textit{Fabry} (vgl. \textit{E. Landau}, Darstellung und Begründung eineiger neuerer ergebnisse der Funktionentheorie, 2. Aufl. (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 171), s. 81, Satz 1) erkennt man nämlich, daß\ \(f(z)\) unter der Voraussetzung \(|\operatorname{arc} {a_n}| \leq |\Phi \) für \(n_\lambda <n<n_\lambda (1+\theta )(\lambda =1,2,\dots )\) nur dann in \(+1\) regulär sein kann, wenn \(\sum \limits _{n=0}^\infty a_n Z^n\) nach Abzug einer geeigneten Potenzreihe mit einem Konvergenzradius \(>1\) Lücken im Sinne des \textit{Ostrowski}schen Überkonvergenzsatzes aufweist. Dann besagt aber der letztere über den vorstehenden Satz hinaus die Überkonvergenz in einer vollen Umgebung des Punkts \(+1\).