A class of gap theorems. (Q2617174)

Mit dem Hilfsmittel der \textit{Fourier}transformation im Komplexen ergibt sich zunächst recht einfach der folgende Satz: Die Potenzreihe \(f(z)=\sum _0^\infty a_n z^{\lambda _n}\) habe den Einheitskreis als Konvergenzkreis, und es gebe einen Teilbogen \((\alpha, \beta )\) und eine dasselbst \(L^2\) integrierbare Funktion \(\varphi (\vartheta )\), so daß\^^M \[ \int \limits _\alpha ^\beta |f(re^{i_\vartheta }) - \varphi (\vartheta )|^2 d\vartheta \rightarrow 0 \quad \text{für}\quad r \rightarrow 1 \] gilt. Ist ferner die ``Lückenbedingung'' \[ \lambda _{n+1}-\lambda _n \geq \frac {16\pi }{\beta - \alpha } \] erfüllt, so gibt es eine in \((0, 2\pi )\) \(L^2\)-integrierbare, in \((\alpha, \beta )\) mit \(\varphi (\vartheta )\) übereinstimmende Funktion \(\psi (\vartheta )\), so daß\ sogar \[ \int \limits _0^{2\pi }|f(re^{i_\vartheta }) - \psi (\vartheta )|^2 d\vartheta \rightarrow 0 \quad \text{für}\quad r \rightarrow 1 \] ist. Ferner wird \[ \int \limits _0^{2\pi }|\psi (\vartheta )|^2 d\vartheta \leq \frac {16\pi }{\beta -\alpha } \int \limits _\alpha ^\beta |\psi (\vartheta )|^2 d\vartheta. \] Es wird ferner gezeigt, daß\ die Funktion \(\varphi (\vartheta )\) zwar unendlich oft differenzierbar sein kann (dann ist es \(\psi (\vartheta )\) auch), aber nicht analytisch. Der Einheitskreis ist daher natürliche Grenze von \(f(z)\). Hieraus ergibt sich sodann der ``Lückensatz'' mit \(\lambda _{n+1}-\lambda _n\rightarrow \infty \) nebst Aussagen über die Natur von Randwerten. Die \textit{Fabry}sche Bedingung ist nicht mitumfaßt.