On approximation to an analytic function by rational functions of best approximation. (Q2617180)

\(C\) sei ein durch eine \textit{Jordan}kurve begrenzter Bereich in der komplexen \(z\)-Ebene. \(f(z)\) sein im Innern von \(C\) analytisch und stetig im abgeschlossenen Bereich. Man betrachte die rationalen Funktionen \[ R_{m,n}(z)=\frac {a_0 z^m + a_1 z^{m-1}+\dots +a_m}{b_0 z^n + b_1 z^{n-1}+\dots +b_n}, \] \[ b_0 z^n + b_1 z^{n-1}+\dots +b_n \neq 0, \] welche \(f(z)\) im \textit{Tschebycheff}schen Sinne am besten approximieren, d. h. also, für welche \[ \max |f(z)-R_{m,n}(z)| \] in \(C\) seinen kleinsten Wert annimt. Verf. beweist: Wenn \(f(z)\) in \(C\) nicht verschwindet, so gilt für jede unendliche Folge \[ \lim R_{m,n}(z)=f(z) \] gleichmäßig im abgeschlossenen \(C\). Hat \(f(z)\) dagegen (endlich oder unendlich viele) Nullstellen in \(C\), so konvergiert nur jede solche Teilfolge von \(R_{m,n},\) deren erster Index unendlich wird, gleichmäßig gegn \(f(z)\). Die Annahme, daß\ \(f(z)\) analytisch ist, ist nicht wesentlich. Der Beweis stützt sich auf die Konvergenz der Teilfolgen \(R_{m,0}\) bzw. \(R_{0,n}\) und Betrachtung der Funktion \(f(\psi (rw))\) mit \(r<1\), wo \({\binom {w=\varphi (z)}{z=\psi (w)}} C\) auf den Einheitskreis der \(w\)-Ebene abbildet. Die Güte der Konvergenz wird untersucht; es folgen einige Verallgemeinerungen und ein Vergleich mit den \textit{Padé}schen Funktion.