Zum Schwarzschen Lemma. (Q2617183)

Durch Benutzung eines ähnlichen Gedankens, wie in einer früheren Arbeit (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 323) gewinnt Verf. eine Verschärfung des {Schwarz}schen Lemmas für Funktionen \(\varphi (z)\) mit \(\varphi (0)=0, |\varphi (z)|\leq 1\) in \(|z|<1\), die auf der reellen Achse seell sind. Nimmt man statt der letzten Voraussetzung zunächst an, \(\varphi (z)\) habe für ein bestimmtes reelles \(z=x\) einen bestimmten reellen wert \(\varphi (x)=W\), so ist bekanntlich \(\varphi (\zeta )\) für beliebiges, festes \(\zeta \) auf einen wohlbestimmten Kreis beschränkt; läßt man \(W\) durch alle reellen Werte variieren, so ergibt sich für die für \(\varphi (\zeta )\) mö glichen Werte als Vereinigungsmenge aller jener Kreise eine gewisse sichel, und für auf der reellen Achse variierendes \(x\) der Durchschnitt dieser Sicheln, nämlich eine Sichel, die begrenzt wird von zwei Kreisen durch die Punkte \(1,\zeta,-\zeta \) bzw. \(-1,\zeta, -\zeta \). Es sei auch leicht festzustellen, wann die Randpunkte erreicht werden. Von diesem Satz hatte Verf. schon früher einen andern Beweis gegebn (Über positive harmonische Entwicklungen und typisch reelle Potenzreihen, M. Z. 38 (1932), 93-121 (F. d. M. 58; insbesondere s. 110).