On analytic functions with positive imaginary parts. (Q2617184)

\textit{Satz}. Ist \(\varphi (l)\) analytisch für \(\mathfrak J (l)>0, \mathfrak J\varphi (l)\geq 0\) und \(\limsup _{t \rightarrow \infty }|t\mathfrak J\varphi (it)|<\infty \) für reelles positives \(t\), so gibt es eine eindeutig bestimmte, nichtabnehmende Funktion \(\alpha (\lambda )\) in \(-\infty <\lambda <\infty \) mit \[ \lim _{\lambda \rightarrow -\infty }\alpha (\lambda )=0, \alpha (\lambda +0)=\alpha (\lambda ), \alpha (\lambda )\leq \limsup _{t \rightarrow \infty }|t\mathfrak J \varphi (it)|, \] so daß\^^M \[ \varphi (l)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\frac {d\alpha (\lambda )}{\lambda -l}+ c, \] wo \(c\) eine reelle Konstante ist. \textit{Anwendung}: Sei \(T\) eine selbstadjungierte Transformation im \textit{Hilbert}schen Raum \(\mathfrak S\) \(R_1\) die Inverse von \(T-lI\), wo \(\mathfrak J l\neq 0\) und \(I\) die identische Transformation ist. Sind \(f\) und \(g\) zwei Elemente von \(\mathfrak S\), so gilt für das innere Produkt \[ [R_l f,g]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\frac {d\beta (\lambda ; f,g)}{\lambda -l}, \] wo \(\beta \) eine komplexe Funktion ist, deren reeller und imaginärer Teil in \(-\infty <\lambda <\infty \) von beschränkter Variation sind. (IV. 7.)