Theorems concerning Cesàro means of power series. (Q2617188)

Es sei \(f(z)=\sum c_n z^n, \quad z=re^{i\vartheta }\), für \(r<1\) konvergent, und es werde \[ M_\lambda = M_\lambda (r)=\left ( \frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi }|f(re^{i\vartheta })|^\vartheta d\vartheta \right )^\frac {1}{\lambda } \] gesetzt. Wenn \(M_\lambda (r)\) für \(r\rightarrow 1\) beschränkt bleibt, so ist \[ \lim _{r\rightarrow 1} f(re^{i\vartheta })=f(e^{i\vartheta }) \] für fast alle \(\vartheta \) vorhanden und bildet eine Randfunktion der Klasse \(L^\lambda \). Die \textit{Cesà ro}schen Mittel \(k\)-ter Ordnung \(\sigma _n^{(k)}(z)\) der Reihe \(\sum c_n z^n\) stehen zu \(M_\lambda \) und \(f(e^{i\vartheta })\) in Beziehungen, die für \(k>0, \lambda \geq 1\) gut bekannt sind. Es sind die folgenden: \[ \lim _{n\rightarrow \infty } \sigma _n^{(k)}(e^{i\vartheta })\rightarrow f(e^{i\vartheta }) \quad \text{für fast alle}\quad \vartheta ;\tag{1} \] \[ \frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi }|\sigma _n^{(k)}(e^{i\vartheta })|^\lambda d\vartheta \leq AM_\lambda ^\lambda (1)\quad \text{mit}\quad A=A(k, \lambda );\tag{2} \] \[ \frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi }|\sigma _n^{(k)}(e^{i\vartheta })-f(e^{i \vartheta })|^\lambda d\vartheta \rightarrow 0 \quad \text{für}\quad n\rightarrow \infty ;\tag{3} \] \[ \frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi }|\sigma _n^{(k)}(e^{i\vartheta })|^\lambda d\vartheta \rightarrow M_\lambda ^\lambda (1)\quad \text{für}\quad n\rightarrow \infty.\tag{4} \] Es wird nun gezeigt, daß\ \, die Beziehungen (2), (3), (4) auch für positive \(\lambda <1\) gelten, jedoch nur wenn \(k<\frac {1}{\lambda }-1\) ist, dagegen nciht mehr für alle zugelassenen \(f(z)\), wenn \(k\leq \frac {1}{\lambda }-1\) ist. Von der Beziehung (1) wird - etwa weniger vollständig - gezeigt, daß\ \, auch sei bei einm \(\lambda <1\) noch sicher gilt, wenn \(k>\left [\frac {1}{\lambda }\right ]\) ist.