Einige Sätze und Formeln aus der Theorie der meromorphen und ganzen Funktionen. (Q2617197)

Verf. geht von der bekannten Formel \[ \frac {1}{2\pi }\int _\Gamma \left (\log |f(\xi )|\frac {\partial \lambda }{\partial \nu }-\lambda (\xi ) \frac {\partial }{\partial \nu }\log |f(\xi )|\right )ds=\sum _a \lambda (a)-\sum _b \lambda (b) \] aus (vgl. \textit{Bieberbach}, Lehrbuch der Funktionentheorie Bd. 2, 2. Aufl. (Leipzig 1931; F. d. M. 57) S. 124), in der \(f(z)\) eine in einem Bereich \(\Gamma \) meromorphe Funktion, \(a\) ihre Nullstellen, \(b\) ihre Pole, \(\lambda (z)\) eine in \(\Gamma \) und \(\lambda \) gewinnt er daraus allerlei speziellere Formeln, die z. T. bekannt sind. Für einen Kreis und \[ \lambda (z)=t^m \cos m\varphi \qquad (z=te^{i\varphi }) \] bekommt man z. B. Verallgemeinerungen der \textit{Jensen}schen Formel, die sich bei \(m=0\) ergibt. Anwendung auf einen Halbkrei mit Dirchmesser auf der imaginären Achse und gegen unendlich wachsenden Radius liefert bei \(\lambda (z)=t\cos \varphi \) eine bekannte Formel von \textit{Carleman} (1923; F. d. M. 49, 708 (JFM 49.0708.*); insbesondere s. 5-6 der dort besprochenen Arbeit). Im Kap. 2 wird für \(\Gamma \) ein Rechteck \[ -\frac {\pi }{2k}\leq y\leq \frac {\pi }{2k}, \quad 0\leq x\leq \;X \] zugrunde gelegt, \(\lambda (z)=e^{kx}\cos ky\) gewählt und \(f(z)\) als eine in dem Halbstreifen, der sich bei \(X\rightarrow \infty \) ergibt, meromorphe Funktion vorausgesetzt. Man enthält dann für diese Funktionen ein Analogon zum ersten Hauptsatz der \textit{Nevanlinna}schen Theorie (1925; F. d. M. 51, 254 (JFM 51.0254.*)), an das sich entsprechende Sätze über die Verteilung der Nullstellen anschließen, wenn \(f(z)\) von der ``Exponentialordnung'' \(\varrho \) ist, d. h., wenn \[ \limsup \frac {\log \log M(x)}{x}=\varrho \] mit \(M(x)=\text{Max}|f(x+iy)|\) ist. \[ |y|\leq \frac {\pi }{2k} \]