On the order of interpolated integral fonctions and of meromorhic functions with given poles. (Q2617202)

Die Ordnung einer ganzen Funktion, die an vorgegebenen Stellen \(a_n(|a_{n+1}|\geq |a_n|)\) vorgegebene Werte \(b_n \quad (n=1,2,3, \dots )\) annimt, ist offenbar mindestens \(\text{Max} (\sigma, \tau )\), wobei \[ \sigma =\limsup \frac {\log ^+\log ^+|b_n|}{\log |a_n|}, \quad \tau =\limsup \frac {\log n}{\log |a_n|}. \] (Nur bei spezieller Wahl der \(b_n\) kann \(\tau \) auch unterschritten werden.) Es fragt sich nun, ob diese untere Schranke von einer den Bedingungen genügenden Funktion wirklich erreicht wird, insbesondere, ob die klassische Lösung des Problems: \[ \Phi (z) \sum _1^\infty \frac {b_nz^{\nu n}}{a_n^{\nu _n}\Phi '(a_n)(z-a_n)}\tag{\(*\)} \] sie erreicht, wenn \(\Phi (z)\) das kannonische Produkt mit den Nullstellen \(a_n\), \(\nu _n\) eine passend gewählte Folge bedeutet. Schwierigkeiten macht dabei allein der zweite Faktor. Es wird nun zunächst gezeigt, daß\ man die Folge \(\nu _n\) so wählen kann, daß die meromorphe Funktion \[ \sum _1^\infty \frac {R_nz^{\nu n}}{(z-a_n)a_n^{\nu n}} \] mit den Residen \(R_n\) höchstens von der Ordnung \(\text{Max} (\sigma ' \tau)\) wird, wenn \[ \sigma '=\limsup \frac {\log ^+\log ^+R_n}{\log |a_n|}. \] Zu untersuchen bleibt also noch das Wachstum der Residuen in (\(*\)), oder also das Wachstum von \(\Phi ' (a_n)\), der Residuen von \(\frac {1}{\Phi (z)}\). Aus dem \textit{Borel-Hadamard}schen Satz über das Minimum einer ganzen Funktion für \(|z|=\text{const}\) außerhalb gewisser Kreise um ihre Nullstellen fließt nun ein Satz über das Wachstum der Residuen \(R_n\) einer meromorphen Funktion der Ordnung \(\varrho \) mit den einfachen Polen \(a_n\). Es ist nämlich \[ \limsup \frac {\log ^+\log ^+ R_n}{\log |a_n|}\leq \varrho, \] wenn die Pole nicht zu nahe aneinanderrücken. So ergibt sich schließlich: Bei passender Wahl der Folge \(\nu_n\) ist die Ordnung von (\(*\)) \(\text{Max}(\sigma,\tau)\), wenn eine positive Zahl \(h\) existiert, sodaß\ die Kreise um die Stellen \(a_n\) mit Radius \(|a_n|^{-h}\) sich nicht überschneiden. Gibt es eine positive, wachsende Funktion \(h(r)\) mit \[ \limsup \frac {\log h(r)}{\log r}=\varrho ', \] sodaß\ die Kreise um die \(a_n\) mit den Radien \(|a_n|^{-h(a_n)}\) sich nicht überschneiden, so ist die Ordnung von (\(*\)) höchstens \(\text{Max} (\sigma, \tau +\varrho ')\). Im erstgenannten Resultat sind die Ergebnisse von \textit{Mursi \& Winn} (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 330, 331) als Spezialfälle enthalten.