Mean-value theorems for the Riemann zetafunction. (Q2617221)

In ihrer Arbeit über die Wertverteilung der \textit{Riemann}schen Zetafuktion II (Acta Math. 58 (1931), 1-55; F. d. M. 57) haben die Verf. gezeigt, daß\ es für festes \(\sigma >\frac {1}{2}\) eine reelle, nicht-negative Funktion von \(z\) gibt, die als die Wahrscheinlichkeit angesehen werden kann, mit der \(\log \zeta (\sigma +it)\) aif der Geraden \(\sigma \) in die Nähe der Stelle \(z\) kommt. Eine solche Wahrscheinlichkeit gibt es, wie dort bemerkt wird, auch für \(\zeta (\sigma +it)\), d.h. es gilt der Satz: Es sei \(\sigma >\frac {1}{2}\). Dann gibt es in der komplexen \(z=u+iv\)-Ebene eine reelle stetige Funktion \(F(z)=F(z; \sigma )\) von der folgenden Beschaffenheit: Ist \(R(u_1<u<u_2, v_1<v<v_2)\) ein beliebiges parallel zu den Koordinatenachsen orientiertes Rechteck und bezeichnet man mit \(L(T)\) die Gesamtlänge derjenigen Teilintervalle von \(-T<t<T\), in denen \(\zeta (\sigma +it)\) in \(R\) liegt, so ist \[ \lim \limits _{T\rightarrow \infty }\frac {L(T)}{2T}=\iint \limits _RF(z)dudv. \] Ist nun \(\Phi (z)\) eine stetige Funktion der Variabeln \(z\), so lieht es nach diesem Satz nahe, die Existenz des Limes und die Gleichung \[ (^\ast )\qquad \lim \limits _{t\rightarrow \infty }\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^T \Phi \{\zeta (\sigma +it)\}dt=M_\Phi (\sigma ) =\iint \limits _{-\infty }^{+\infty }\Phi (z)F(z;\sigma )dudv \] zu vermuten, sobald nur das Doppelintegral existiert. Ein Beweis würde ohne weiteres nur für beschränktes \(\zeta (\sigma +it)\), d.h. für \(\sigma >1\) gelingen. Im anderen Falle muß\ man \(\Phi \) noch eine Bedingung auferlegen, nämlich: Zu festem \(\sigma >\frac {1}{2}\) sei \(\Phi (z)\) eine solche stetige Funktion, daß\ zu jedem \(\varepsilon >0\) ein \(\eta =\eta (\varepsilon )>0\) gehört, derart daß\, wenn \(\varphi (t)\) eine Treppenfunktion ist, die nur die Werte \(0\) und \(1\) annimmt und für die \[ \limsup \frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^T\varphi (t)dt<\eta, \quad \text{dann}\quad \limsup \frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^T|\Phi \{\zeta (\sigma +it)\}|\varphi (t)dt< \varepsilon \] ist. Für solche \(\Phi (z)\) beweisen Verf. \((^\ast )\). Hieraus erschließen sie leicht den folgenden Satz, das Ziel ihrer Abhandlung: Sind \(\Psi (z)\geq 0\) und \(\Psi (z)\) stetige Funktionen von \(z\), und ist \[ \limsup _{T\rightarrow \infty }\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^T\Psi \{\zeta (\sigma + it)\}dt<\infty \] und ferner \[ \Phi (z)=o\{\Psi (z)\}\quad \text{für}\quad |z|\rightarrow \infty, \] so existiert der Mittelwert \(M_{\Phi }(\sigma )\), und Gleichung \((\ast )\) gilt. Speziell folgt daraus: Ist \[ \limsup _{T\rightarrow \infty }\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^T|\zeta (\sigma +it)|^ {2m}dt<\infty \] für gegebenes \(\sigma >\frac {1}{2}\) und ein \(m>0\), so existiert \[ \lim _{T\rightarrow \infty }\frac {1}{2T}\int \limits _{-T}^T|\zeta (\sigma +it)|^{2k }dt \] für dasselbe \(\sigma \) und jedes positive \(k<m\)