On van der Corput's method and the zetafunction of Riemann. IV. (Q2617223)

Verf. geht in der vorliegenden Arbeit, für die insbesondere die erste der unter gleichem Titl veröffentlichten Arbeiten (Quarterly Journ. (Oxford series) 2 (1931), 161-173; F. d. M. 57) von Bedeutung ist, aus von der ``approximate functional equation'' für die Zetafunktion (vgl. z. B. \textit{Hardy \& Littlewood}, 1922; F. d. M. 48, 345 (JFM 48.0345.*)-346): \[ \zeta (s)=\sum \limits _{n<\chi }\frac {1}{n^s}+\chi (s)\sum \limits _{n<y}\frac {1}{n ^{1-s}}+O(n^{-\sigma })+O(y^{\sigma -1}|t|^{\frac {1}{2}-\sigma }) \] mit \[ 2\pi xy=|t|\quad \text{und}\quad \chi (s)=\pi ^{s-\frac {1}{2}}\frac {\Gamma (\frac {1-s}{2}) }{\Gamma (\frac {s}{2})}, \] und zwar setzt er im Fall \(\sigma =\frac {1}{2}\) hierin \[ \chi (\frac {1}{2}+it)=e^{-2i\vartheta } \] und betrachtet die schon von \textit{Riemann} herrührende Formel \[ f(t)=e^{i\vartheta }\zeta (\frac {1}{2}+it)=\sum \limits _{n=1}^k\frac {\cos (\vartheta -t\log n)}{n^{\frac {1}{2}}}+O(t^{\frac {1}{4}}) \] mit \[ k=\left [\left (\frac {|t|}{2\pi }\right )^{\frac {1}{2}}\right ]. \] Aus der \textit{stirling}schen Formel ergibt sich, daß\ \(\vartheta \) als Funktion von \(t\) für beliebiges natürliches \(v\) die eigenschaft hat, daß\ die Gleichung \(\vartheta =v\pi \) genau eine wurzel \(t_{v'}\) hat, die sich, von einem konstantn Faktor abgesehen, asymptotisch wie \(frac{v}{\log v}\) verhält. In \(f(t_v)\) tritt nun die Summe \[ g(t_v)=\sum \limits _{n=1}^k\frac {\cos (t_v \log n)}{n^{\frac {1}{2}}} \] auf, und die Vorzeicheneigenschaften von \(g(t_v)\) hängen offenbar eng mit dem Verhalten der Wurzeln der Funktion \(f(t)\) und nach \textit{Hutchinson} und \textit{Gram} (vgl. Verf., The zetafunction of Riemann (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 978), \S 3.13) auch mit der Zetafunktion zusammen. Verf. zeigt, daß\ der ausdruck \((-1)^vf(t_v)\) überwiegend positiv und der ausdruck \(\frac {f(t_v)}{f(t_{v+1})}\) überwiegend negativ ist. Hieraus folgt, daß\ für die anzahl \(G(t)\) der Intervalle in \((O, T)\), für die \((t_v, t_{v+1})\) eine Nullstelle von \(\zeta (\frac {1}{2}+it)\) enthält, mit positivem konstantem \(A\) \[ G(T)>A\frac {T^{\frac {2}{3}}}{\log T} \] gilt.