On van der Corput's method and the zeta-function of Riemann. V. (Q2617224)

Verf. knüpft insbesondere an ein Resultat von \textit{Ingham} an, für das er in der dritten unter gleichem Titel veröffentlichten Arbeit einen Beweis angegeben hat (s. vorletztes Referat) und zwar an eine abschätzung des Integrals \[ \int _1^T |\zeta (\frac {1}{2}+it)|^2dt\tag{*} \] mit dem Restglied \(O (T^{\frac {1}{2}}\log T)\). Er zeigt, daß\ das Restglied sogar als \[ O (T^{\frac {5}{12}}\log ^2 T) \] abgeschätzt werden kann; auch diese Abschätzung ist jedoch, wie er bemerkt, ohne Zweifel nicht unverbesserlich. Der Beweis beruht auf einer \textit{Riemann-Siegel}schen Formel (\textit{C. L. Siegel}m Quellen und Studien B 2 (1932), 45-80, F. d. M. 58) für den Ausdruck \[ e^{i\vartheta }\cdot \zeta (\frac {1}{2}+it), \] mit \[ \vartheta =-\frac {1}{2}\,\text{am}\,\chi (\frac {1}{2}+it) \] und \[ \chi (s)=\pi ^{s-\frac {1}{2}}\frac {\Gamma \left (\frac {1-s}{2}\right )}{\Gamma \left (\frac {s}{2}\right )}, \] in der rechts insbesondere eine trigonometrische Summe mit \(\left [\sqrt {\frac {t}{2\pi }}\right ]\) Gliedern und ein Rest auftritt, der als \[ O(t^{-\frac {3}{4}}) \] abgeschätzt werden kann. Die Betrachtung verläuft dann so, daß\ die beim Einsetzen dieser Formel in das abzuschätzende Integral \((^\ast )\) von der erwähnten trigonometrische Summe herrührende Integralsumme durch partielle Summation in Bestandteile zerlegt wird, zu deren Untersuchung (die z.T. an die dritte unter gleichem Titel erschienene oben besprochene Arbeit des Verf. anknüpft) neben Theorem 1 und 2, Lemma 1 und \S 3.2 der ersten abhandlung der Serie (Quarterly Journ. (Oxford series) 2 (1931), 161-173; F. d. M. 57) ein Hilfssatz über Integrale von der Form \[ \int \limits _{2\pi n^2}^\infty \text{exp} \left (i\left (t\log \frac {t}{2\pi mn}-t-\frac {\pi }{4}\right )\right ) dt \] mit zwei natürlichen Zahlen \(m\) und \(n\) herangezogen wird. In der Schlußbetrachtung spielt ferner ein Satz über das Verhalten des Integrals \[ \int \limits _0^\infty |\zeta (\frac {1}{2}+it)|^2e^{-\delta t}dt \] bei \(\delta \rightarrow 0\) eine Rolle. der von \textit{Wilton} (Journal L. M. S. 5 (1930), 28-32, F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 289) ohne Beweis mitgeteilt wird und in schwächerer Fassung aus \S 2. 32 des Cambridge Tract des Verf. ``The zeta-function of Riemann'' (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 978) entnommen werden kann.