On Epstein's zeta-function. (Q2617230)

Die \textit{van der Corput}sche Methode zur Abschätzung von Summen \(\sum e^{if(n)}\) wird ausgedehnt auf Summen \(\sum e^{if(m,n)}\). Die nun für \(f\) notwendigen Voraussetzungen sind entsprechend abgeändert und erinnern an die Ausdehnung des zweiten Mittelwertsatzes auf Funktionen zweier Veränderlichen. Nunmehr ist es möglich, die Abschätzung \[ \zeta (\frac {1}{2}+it)=O(t^{\frac {1}{6}}\log t) \] auf die \textit{Epstein}sche Zetafunktion \[ Z(s)=\sum \limits _{m=-\infty }^\infty \operatornamewithlimits {\sum '}\limits _{n=-\infty }^\infty \frac {1}{(m ^2+an^2)^s}\qquad (a>0) \] zu übertragen: \[ Z(\frac {1}{2}+it)=O(t^{\frac {1}{3}}\log ^3t). \] Die von \textit{Potter}(siehe folgendes Referat) bewiesene approximative Funktionalgleichung für \(Z(s)\) wird dabei benutzt.