Aufgabe 163 (gestellt im Jahresbericht 43, (1933), 113 kursiv). Lösungen von W. Fenchel, E. Reißner. (Q2617249)

Dei Aufgabe lautet: Sei\qquad \(f(z)=a_0+a_1z+\cdots \) in \(|z|<1\) regulär, und ebenda gelte mit \(0<\delta <1\): \[ \delta \leq |f(z)|\leq 1. \] Dann ist (wahre Schranke) \[ |a_1|\leq \frac {2}{\pi }\log \frac {1}{\delta }\cdot |a_0|\sin \left \{\pi \frac {\log \frac {1}{|a_0|}}{\log \frac {1}{\delta }}\right \}, \] \[ \max |a_0+a_1|=\left \{1+\frac {\Delta (\sqrt {4\Delta ^2+3}-\Delta )}{1+\Delta ^2} \right \}e^{-\Delta \arcsin \frac {\sqrt {4\Delta ^2+3}-\Delta }{2(1+\Delta ^2)}}, \] wobei \[ \Delta =\frac {1}{\pi }\log \frac {1}{\delta } \] bedeutet. Speziell folgt für \(\delta \rightarrow 0\): Ist \(f(z)=a_0+a_1z+\cdots \) in \(|z|<1\) regulär, und gilt ebenda \[ f(z)\neq 0, |f(z)|\leq 1, \] so ist (wahre Schranke) \(|a_1|\leq 2|a_0|\log \frac {1}{|a_0|},\) \[ \text{Max}|a_0+a_1|=\frac {2}{\sqrt {e}}. \]