Über die Abschnitte einer ungeraden schlichten Potenzreihe. (Q2617260)

Anknüpfend an ein Ergebnis von \textit{Fejér} (1933; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 298) beweist Verf. für die in \(|z|<1\) regulären, schlichten, normierten, ungeraden Funktionen \(w=f(z)\) die beiden folgenden Tatsachen: (1) Ist \(w=f(z)\) in \(|z|<1\) ``sternförmig'' bezüglich \(w=0\), d.h. bildet \(w=f(z)\) den Kreis \(|z|<1\) auf ein bezüglich \(w=0\) sternförmiges Gebeit ab, dann sind die sämtlichen Abschnitte \(s_{2n+1}(z)\,(n=0,1,2,\dots )\) ihrer Potenzreihenentwicklung im Nullpunkt wenigstens im Kreise \(|z|<\frac {1}{\sqrt {3}}\) schlicht und sternförmig bezüglich \(w=0\). (2) Ist \(w=f(z)\) in \(|z|<1\) ``konvex'', d.h. bildet sie \(|z|<1\) auf ein konvexes Gebiet ab, so sind die Abschnitte \(s_{2n+1}(z)\) wenigstens im Kreise \(|z|<\frac {1}{\sqrt {3}}\) schlicht und konvex. Beidemal kann die Konstante \(\frac {1}{\sqrt {3}}\) durch keine größere ersetzt werden. Die Beweisführung ist dem Verfahren nachgebildet, das \textit{G. Szegö} (1928; F. d. M. 54, 336 (JFM 54.0336.*)) zur Behandlung derselben Aufgabe für beliebige schlichte Funktionen entwickelt hat.