Again the Kronecker theorem. (Q2617310)

Verf. beweist den Satz in der Form: Seien \(\lambda _1,\dots,\lambda _N\) \(N\) linear unabhängige und \(\varphi _1,\dots,\varphi _N\) \(N\) beliebig gegebene reelle Zahlen. Dann ist die obere Grenze des absoluten Betrages der Funktion \[ f(t)=1+e^{2\pi i(\lambda _1t-\varphi _1)}+\dots +e^{2\pi i(\lambda _Nt-\varphi _N)}\quad (-\infty <t<\infty ) \] gleich \(N+1\) (Vgl. \textit{Bohr}, \textit{Jessen}, Journal L. M. S. 7 (1932), 274-275; F. d. M. 58.) Um den Beweis indirekt zu führen, wird angenommen, die obere Grenze von \(|f(t)|\) sei \(k<N+1\). Wir betrachten \(\left \{f(t)\right \}^p= \varSigma \alpha _\nu e^{i\beta _\nu t}.\) Dann wäre, wie eine Rechnung zeigt, \(|\alpha _\nu |\leqq k^p,\varSigma |\alpha _\nu |< (p+1)^Nk^p\). Andererseits ergibt sich durch Heranziehung der Hilfsfunktion \(F(x_1,\dots,x_n)=1+x_1+\dots +x_N\), deren \(p\)-te Potenz die gleichen Koeffizienten wie \(\left \{f(t)\right \}^p\) hat, \(\varSigma |\alpha _\nu |=(N+1)^p\). Beide Aussagen über \(\varSigma |\alpha _\nu |\) stehen für hinreichend große \(p\) im Widerspruch.