The asymptotic expansion of the generalized Bessel function. (Q2617322)

Verf. beweist die verallgemeinerte \textit{Bessel}funktion \[ \varPhi (z)=\sum \limits _{\nu =0}^\infty \frac {z^\nu }{\varGamma (\nu +1)\varGamma (\varrho \nu +\beta )} \] \((\varrho >0\) und \(\beta \) eine reelle oder komplexe Zahl) mittels einer Integraldarstellung mit geeignetem Integrationsweg die asymptotische Darstellung: \[ \begin{matrix} \l \\\varPhi (z)=H(Z_1)+H(Z_2),\\H(Z)=Z^{\frac 12-\beta }e^{\left (1+\frac 1\varrho \right )Z}\left (\sum \limits _{\mu =0}^m \frac {(-1)^\mu \cdot a_\mu }{z^\mu }+O\left (\frac 1{|Z|^{m+1}}\right )\right ),\\ Z_\sigma =(\varrho |z|)^{\frac 1{\varrho +1}}\cdot e^{\frac {i(\xi +(-1)^{\sigma +1}\pi )}{\varrho +1}},\end{matrix} \] \((\sigma =1,2;\arg (-z)=\xi ;|\xi |\leqq \pi ).\) Für \(\arg (z)=\vartheta \) und \(|\vartheta |\leqq \pi -\varepsilon \) reduziert sie sich auf \[ \varPhi (z)=H(Z),\quad Z=\varrho |z|^{\frac 1{\varrho +1}}\cdot e^{i\vartheta (\varrho +1)}. \]