Bilinear forms bounded in space \([p,q]\). (Q2617376)

Es handelt sich um Bilinearformen \[ A=\Sigma \Sigma a_{mn}x_my_n, \] die im Raume \([p,q],p>1,q>1\), beschränkt sind; d. h. die Abschnitte von \(A\) sollen für die \(x_m,y_n\) mit \[ \Sigma |x_m|^p\leqq 1,\Sigma |y_m|^q\leqq 1 \] gleichmäßig beschränkt bleiben. Die Theorie dieser Formen ist nicht nur im klassischen \textit{Hilbert}schen Falle \([2,2]\), sondern auch im ``konjungiert'' Falle \(q=\frac p{p-1}\) und allgemeiner Falle \(\frac 1p+\frac 1q\geqq 1\) ziemlich bekannt. Es werden jezt im Falle \(\frac 1p+\frac 1q<1\) die folgenden Sätze bewiesen: (1) Es sei \(\frac 1p+\frac 1q\leqq \frac 12\). Es werde \[ \frac 1\lambda =1-\frac 1p-\frac 1q,\frac 1\mu =\frac 34-\frac 1{2p}-\frac 1{2q} \] und \[ b_n=\left (\sum \limits _m|a_{mn}|^2\right )^{\frac 12},\quad c_m=\left (\sum \limits _n|a_{m,n}|^2\right )^ \frac 12 \] gesetz. Dann gilt \[ (\Sigma b_n^\lambda )^{\frac 1\lambda }\leqq KM; \quad (\Sigma c_m^\lambda )^{\frac 1\lambda }\leqq KM\leqno (*) \] und \[ (\Sigma \Sigma |a_{mn}|^\mu )^{\frac 1\mu }\leqq KM,\leqno (**) \] wo \(M\) die obere Grenze von \(A\) und \(K\) eine absolute Konstante ist. (2) Es sei \(p\geqq 2,q\geqq 2, \frac 12<\frac 1p+\frac 1q<1\). Dann gilt (*) und \[ (\Sigma \Sigma |a_{mn}|^\lambda ) ^{\frac 1\lambda }\leqq KM.\leqno (***) \] (3) Es sei \(1<p<2<q,\frac 1p+\frac 1q<1\). Dann gilt (***). (4) \(\lambda \) und \(\mu \) sind in den obigen Sätzen die bestmöglichen Indices.