The operational representations of \(D_n(x)\) and \(\left (D_{-(n+1)}^2(ix)-D_{-(n+1)}^2(-ix)\right )\). (Q2617392)

Eine Funktion \(f(x)\) und die ihr in der Operatorenrechnung symbolisch äquivalente \(\varphi (p)\) hängen durch \textit{Laplace}-Transformation zusammen: \[ \varphi (p)=p\int \limits _0^\infty e^{-px}f(x)dx. \] Ist \(D_{2n+1}(x)\) die Lösung der Differentialgleichung \[ \frac {d^2y}{dx^2}+\left (2n+\frac 32-\frac 14x^2\right )y=0 \] mit \(D_{2n+1}(0)=0\), so gehört zu \(D_{2n+1}\left (2\sqrt x\right )\) die Funktion \[ \varphi (p)=(-1)^n\sqrt \pi \frac {\varGamma (2n+2)}{\varGamma (n+1)2^n}\frac {p(p-1)^n}{(p+1)^{n+\frac 32}}. \]