Equations aux dérivées partielles er théorie des fonctions. (Q2617395)

Wie man die Differentialgleichung \(\varDelta u=0\) durch das Gleichungssystem \[ \frac {\partial u}{\partial x}-\frac {\partial v}{\partial y}=0,\quad \frac {\partial u}{\partial y}+ \frac {\partial v}{\partial x}=0 \] linearisieren kann, so ist auch eine Linearisierung des \textit{Laplace}schen Operators in drei und vier Variablen (hier durch den \textit{Dirac}schne Operator) bekannt. Die Theorie der Linearisierung der Differentialoperatoren hängt eng mit der vom Verf. entwickelten Theorie der Funktionale zusammen. Ist ein Feld stetiger, geschlossener regulärer Kurven \(L\) im \(R_3\) gegeben, so nennt man eine vom Gesamtverlauf von \(L\) abhängede Größe ein Funktional \(F[L]\): Stetigkeit und Differentiation sind leicht zu erklären, und ist für eine punktförmige Kurve \(F=0\), so gilt die Darstellung \[ F[L]=\iint \limits _\Sigma \left \{A\cos nx+B\cos ny+C\cos nz\right \}d\sigma,\leqno (1) \] wo \(\Sigma \) eine von \(L\) begrenzte Fläche, \(n\) ihre Normalenrichtung und \(A,B,C\) selbst Funktionale sind. In dem Sondernfall, daß\ \(A,B,C\) gewöhnliche Punktfunktionen sind, gilt das additive Gesetz \[ F[L_1+L_2]=F[L_1]+F[L_2] \] und umgekehrt; \(F\) heißt dann vom ersten Grade, und da (1) für geschlossenes \(\Sigma \) Null ergeben muß\, folgt die Integrabilitätsbedingung \[ \frac {\partial A}{\partial x}+\frac {\partial B}{\partial y}+\frac {\partial C}{\partial z}=0.\leqno (2) \] Ändert man an einer Stelle \(L\) infinitesimal senkrecht zur \(x\)-Achse ab und bildet den Differentialquotienten von \(F\) bezüglich der überstrichenen Fläche, so erhält man die Ableitungen \[ \frac {dF}{d(yz)}=A,\frac {dF}{d(zx)}=B,\frac {dF}{d(xy)}=C. \] Bestimmt man \(X,Y,Z\) aus \[ \frac {\partial Z}{\partial y}-\frac {\partial Y}{\partial z}=A,\frac {\partial X}{\partial z}-\frac {\partial Z}{\partial x}=B, \frac {\partial Y}{\partial x}-\frac {\partial X}{\partial y}=C, \] so kann jedes Funktional ersten Grades in die Form \[ F[L]=\int \limits _L(Xdx+Ydy+Zdz) \] gesetz werden. Anwendungen auf die Linearisierung. Es sei das Differentialsystem \[ \frac {\partial u}{\partial x}+\frac {\partial v}{\partial y}+\frac {\partial w}{\partial z}=0,\leqno (3) \] \[ \frac {\partial w}{\partial y}-\frac {\partial v}{\partial z}=0,\quad \frac {\partial u}{\partial z}-\frac {\partial w}{\partial x}=0, \quad \frac {\partial v}{\partial x}-\frac {\partial u}{\partial y}=0\leqno (4) \] vorgelegt, das die \textit{Laplace}schen Gleichungen \[ \varDelta u=\varDelta v=\varDelta w=0 \] linarisiert. Dann können (3) und (4) als Integrabilitätsbedingungen eines Funktionals (ersten Grades) \[ \varPhi =\iint \limits _\Sigma \left \{udydx+vdydx+wdxdy\right \} \] und einer Punktfunktion \[ \varphi =\int \limits _{P_0}^P(udx+vdy+wdz) \] gedeutet werden. \(\varphi \) und \(\varPhi \) übernehmen die Rolle der konjugierten Funktionen im Dreidimensionalen, und ist \(d\sigma \) ein zu \(dn\) senkrechtes Flächenelement, so gilt allgemein \[ \frac {d\varphi }{dn}=\frac {d\varPhi }{d\sigma }. \] Dieser Begriff des Konjugiertseins von Funktionen und Funktionalen wird nun auf höhere Räume erweitert, indem an die Stelle von Linienfunktionen Funktionale höherer Mannigfaltigkeiten \(V_2,V_3\dots \) treten. Im \(R_n\) ist zu einem \(F[V_r]\) stets ein konjugiertes Funktional \(F[V_{n-r-2}]\) bestimmbar. Sind \(\varphi =\varphi _1(u,v)+i\varphi _2(u,v),f=f_1+if_2\) komplexe Funktionen auf einer Fläche, so heißen sie monogen, wenn \(\frac {d\varphi }{df}\) unabhängig von der Annäherungsrichtung existiert; \(\varphi _1, \varphi _2,f_1,f_2\) müßen dann die \textit{Laplace}sche Gleichung auf der Fläche erfüllen. Ähnlich heißen zwei Funktionale \(\varPhi [L]=\varPhi _1+i\varPhi _2,F[L]=F_1+iF_2\) isogen, wenn \(\frac {d\varPhi }{d\sigma }:\frac {dF}{d\sigma }\) unabhängig von der Richtung von \(d\varrho \) ist; als notwendig und hinreichend dafür werden zwie Gleichungen in den Ableitungen \[ \frac {d\varPhi _i}{d(yz)},\dots \] gefunden. Ein Speziall zeigt, daß \[ \varPhi [L]=\int \limits _L(\theta _1+i\theta _2)d\eta,\quad F[L]=\int \limits _L(t_1+it_2)d\eta \] isogene Funktionale sind, wenn \(\theta _1+i\theta _2\) eine von \(\eta \) abhängige analytische Funktion von \(t_1+it_2\) ist und \(t_1,t_2,\eta \) selbst Funktionen von \(x,y,z\) sind. Die Punktfunktion \[ \frac {d\varPhi }{dF}=f(x,y,z) \] heißt selbst isogen zu \(F\) und \(\varPhi \); sind \(f_1,f_2\) zu \(F\) isogen, so ist es auch jede Funktion von \(f_1,f_2\). Schreibt man \[ \varPhi =\int fdF, \] so läßt sich der \textit{Cauchy}sche und \textit{Morera}sche Integralsatzt übertragen. Die Erweiterung dieser Begriffe auf höhere Räume wird ebenfalls durchgeführt.